Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25044 / 29100
↖ ↑ ↗
← N 19.746024°
W 42.429199°		 ← 574.93 m → N 19.746024°
W 42.423706°		 →
↑
574.92 m
↓
↑
574.92 m
↓
N 19.740854°
W 42.429199°		 ← 574.95 m →
330 545 m²		 N 19.740854°
W 42.423706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382148742675781 y=0.444038391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382148742675781 × 216)
    floor (0.382148742675781 × 65536)
    floor (25044.5)     		tx = 25044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444038391113281 × 216)
    floor (0.444038391113281 × 65536)
    floor (29100.5)     		ty = 29100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25044 / 29100 ti = "16/25044/29100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25044/29100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25044 ÷ 216
    25044 ÷ 65536     		x = 0.38214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29100 ÷ 216
    29100 ÷ 65536     		y = 0.44403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74052923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    0.1119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351665095612732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74052923} λ = -0.74052923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351665095612732))-π/2
    2×atan(1.42143240004809)-π/2
    2×0.957714731972755-π/2
    1.91542946394551-1.57079632675     		φ = 0.34463314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74052923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.429199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34463314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.746024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25044 KachelY 29100 -0.74052923 0.34463314 -42.429199 19.746024
    Oben rechts KachelX + 1 25045 KachelY 29100 -0.74043335 0.34463314 -42.423706 19.746024
    Unten links KachelX 25044 KachelY + 1 29101 -0.74052923 0.34454290 -42.429199 19.740854
    Unten rechts KachelX + 1 25045 KachelY + 1 29101 -0.74043335 0.34454290 -42.423706 19.740854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34463314-0.34454290) × R
    9.02400000000192e-05 × 6371000     		dl = 574.919040000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34463314-0.34454290) × R
    9.02400000000192e-05 × 6371000     		dr = 574.919040000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74052923--0.74043335) × cos(0.34463314) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941199460108833 × 6371000     		do = 574.93308318297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74052923--0.74043335) × cos(0.34454290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941229943987956 × 6371000     		du = 574.951704305649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34463314)-sin(0.34454290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941199460108833-0.941229943987956)×R²
    abs(-0.74043335--0.74052923)×3.04838791226336e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04838791226336e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04838791226336e-05×40589641000000     		ar = 330545.329291317m²