Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25044 / 24353
↖ ↑ ↗
← S 65.517516°
E 95.141601°		 ← 506.27 m → S 65.517516°
E 95.152588°		 →
↑
506.24 m
↓
↑
506.24 m
↓
S 65.522069°
E 95.141601°		 ← 506.18 m →
256 269 m²		 S 65.522069°
E 95.152588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764297485351562 y=0.743209838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764297485351562 × 215)
    floor (0.764297485351562 × 32768)
    floor (25044.5)     		tx = 25044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743209838867188 × 215)
    floor (0.743209838867188 × 32768)
    floor (24353.5)     		ty = 24353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25044 / 24353 ti = "15/25044/24353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25044/24353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25044 ÷ 215
    25044 ÷ 32768     		x = 0.7642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24353 ÷ 215
    24353 ÷ 32768     		y = 0.743194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    0.528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66053420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.48638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52803661228891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66053420} λ = 1.66053420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52803661228891))-π/2
    2×atan(0.21696122841824)-π/2
    2×0.213649978749925-π/2
    0.42729995749985-1.57079632675     		φ = -1.14349637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66053420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.141601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14349637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.517516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25044 KachelY 24353 1.66053420 -1.14349637 95.141601 -65.517516
    Oben rechts KachelX + 1 25045 KachelY 24353 1.66072595 -1.14349637 95.152588 -65.517516
    Unten links KachelX 25044 KachelY + 1 24354 1.66053420 -1.14357583 95.141601 -65.522069
    Unten rechts KachelX + 1 25045 KachelY + 1 24354 1.66072595 -1.14357583 95.152588 -65.522069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14349637--1.14357583) × R
    7.94600000000312e-05 × 6371000     		dl = 506.239660000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14349637--1.14357583) × R
    7.94600000000312e-05 × 6371000     		dr = 506.239660000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66053420-1.66072595) × cos(-1.14349637) × R
    0.000191749999999935 × 0.414415039073352 × 6371000     		do = 506.265677522119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66053420-1.66072595) × cos(-1.14357583) × R
    0.000191749999999935 × 0.414342722172328 × 6371000     		du = 506.17733235739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14349637)-sin(-1.14357583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414415039073352-0.414342722172328)×R²
    abs(1.66072595-1.66053420)×7.23169010235503e-05×R²
    0.000191749999999935×7.23169010235503e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.23169010235503e-05×40589641000000     		ar = 256269.402681084m²