Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25040 / 29215
↖ ↑ ↗
← N 19.150357°
W 42.451172°		 ← 576.99 m → N 19.150357°
W 42.445679°		 →
↑
577.02 m
↓
↑
577.02 m
↓
N 19.145168°
W 42.451172°		 ← 577.01 m →
332 939 m²		 N 19.145168°
W 42.445679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382087707519531 y=0.445793151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382087707519531 × 216)
    floor (0.382087707519531 × 65536)
    floor (25040.5)     		tx = 25040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445793151855469 × 216)
    floor (0.445793151855469 × 65536)
    floor (29215.5)     		ty = 29215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25040 / 29215 ti = "16/25040/29215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25040/29215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25040 ÷ 216
    25040 ÷ 65536     		x = 0.382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29215 ÷ 216
    29215 ÷ 65536     		y = 0.445785522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382080078125 × 2 - 1) × π
    -0.23583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74091272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    0.108428955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.340639608700119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74091272} λ = -0.74091272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340639608700119))-π/2
    2×atan(1.40584649470854)-π/2
    2×0.952516558658201-π/2
    1.9050331173164-1.57079632675     		φ = 0.33423679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74091272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.451172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33423679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.150357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25040 KachelY 29215 -0.74091272 0.33423679 -42.451172 19.150357
    Oben rechts KachelX + 1 25041 KachelY 29215 -0.74081685 0.33423679 -42.445679 19.150357
    Unten links KachelX 25040 KachelY + 1 29216 -0.74091272 0.33414622 -42.451172 19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 25041 KachelY + 1 29216 -0.74081685 0.33414622 -42.445679 19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33423679-0.33414622) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dl = 577.021470000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33423679-0.33414622) × R
    9.0570000000012e-05 × 6371000     		dr = 577.021470000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74091272--0.74081685) × cos(0.33423679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94466095447189 × 6371000     		do = 576.987357787944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74091272--0.74081685) × cos(0.33414622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 577.005502740681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33423679)-sin(0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94466095447189-0.944690661931055)×R²
    abs(-0.74081685--0.74091272)×2.97074591656399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97074591656399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97074591656399e-05×40589641000000     		ar = 332939.32860347m²