Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25040 / 25518
↖ ↑ ↗
← S 70.311337°
E 95.097656°		 ← 411.58 m → S 70.311337°
E 95.108643°		 →
↑
411.57 m
↓
↑
411.57 m
↓
S 70.315038°
E 95.097656°		 ← 411.51 m →
169 378 m²		 S 70.315038°
E 95.108643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764175415039062 y=0.778762817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764175415039062 × 215)
    floor (0.764175415039062 × 32768)
    floor (25040.5)     		tx = 25040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778762817382812 × 215)
    floor (0.778762817382812 × 32768)
    floor (25518.5)     		ty = 25518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25040 / 25518 ti = "15/25040/25518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25040/25518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25040 ÷ 215
    25040 ÷ 32768     		x = 0.76416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25518 ÷ 215
    25518 ÷ 32768     		y = 0.77874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    0.5283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65976721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.5574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75142256451837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65976721} λ = 1.65976721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75142256451837))-π/2
    2×atan(0.173526914553206)-π/2
    2×0.171815997079359-π/2
    0.343631994158718-1.57079632675     		φ = -1.22716433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65976721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22716433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.311337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25040 KachelY 25518 1.65976721 -1.22716433 95.097656 -70.311337
    Oben rechts KachelX + 1 25041 KachelY 25518 1.65995896 -1.22716433 95.108643 -70.311337
    Unten links KachelX 25040 KachelY + 1 25519 1.65976721 -1.22722893 95.097656 -70.315038
    Unten rechts KachelX + 1 25041 KachelY + 1 25519 1.65995896 -1.22722893 95.108643 -70.315038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22716433--1.22722893) × R
    6.46000000001923e-05 × 6371000     		dl = 411.566600001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22716433--1.22722893) × R
    6.46000000001923e-05 × 6371000     		dr = 411.566600001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65976721-1.65995896) × cos(-1.22716433) × R
    0.000191749999999935 × 0.336908966957804 × 6371000     		do = 411.581217712467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65976721-1.65995896) × cos(-1.22722893) × R
    0.000191749999999935 × 0.336848142950058 × 6371000     		du = 411.506912717262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22716433)-sin(-1.22722893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336908966957804-0.336848142950058)×R²
    abs(1.65995896-1.65976721)×6.0824007746374e-05×R²
    0.000191749999999935×6.0824007746374e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.0824007746374e-05×40589641000000     		ar = 169377.791729328m²