Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25040 / 25515
↖ ↑ ↗
← S 70.300230°
E 95.097656°		 ← 411.80 m → S 70.300230°
E 95.108643°		 →
↑
411.76 m
↓
↑
411.76 m
↓
S 70.303933°
E 95.097656°		 ← 411.73 m →
169 548 m²		 S 70.303933°
E 95.108643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764175415039062 y=0.778671264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764175415039062 × 215)
    floor (0.764175415039062 × 32768)
    floor (25040.5)     		tx = 25040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778671264648438 × 215)
    floor (0.778671264648438 × 32768)
    floor (25515.5)     		ty = 25515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25040 / 25515 ti = "15/25040/25515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25040/25515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25040 ÷ 215
    25040 ÷ 32768     		x = 0.76416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25515 ÷ 215
    25515 ÷ 32768     		y = 0.778656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    0.5283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65976721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.55731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75084732172293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65976721} λ = 1.65976721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75084732172293))-π/2
    2×atan(0.173626763376523)-π/2
    2×0.171912925552486-π/2
    0.343825851104972-1.57079632675     		φ = -1.22697048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65976721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22697048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.300230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25040 KachelY 25515 1.65976721 -1.22697048 95.097656 -70.300230
    Oben rechts KachelX + 1 25041 KachelY 25515 1.65995896 -1.22697048 95.108643 -70.300230
    Unten links KachelX 25040 KachelY + 1 25516 1.65976721 -1.22703511 95.097656 -70.303933
    Unten rechts KachelX + 1 25041 KachelY + 1 25516 1.65995896 -1.22703511 95.108643 -70.303933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22697048--1.22703511) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dl = 411.757730000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22697048--1.22703511) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dr = 411.757730000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65976721-1.65995896) × cos(-1.22697048) × R
    0.000191749999999935 × 0.337091477617772 × 6371000     		do = 411.804179898228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65976721-1.65995896) × cos(-1.22703511) × R
    0.000191749999999935 × 0.337030629584991 × 6371000     		du = 411.729845553097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22697048)-sin(-1.22703511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337091477617772-0.337030629584991)×R²
    abs(1.65995896-1.65976721)×6.08480327812799e-05×R²
    0.000191749999999935×6.08480327812799e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.08480327812799e-05×40589641000000     		ar = 169548.250507695m²