Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25039 / 29065
↖ ↑ ↗
← N 19.926877°
W 42.456665°		 ← 574.22 m → N 19.926877°
W 42.451172°		 →
↑
574.28 m
↓
↑
574.28 m
↓
N 19.921713°
W 42.456665°		 ← 574.24 m →
329 769 m²		 N 19.921713°
W 42.451172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382072448730469 y=0.443504333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382072448730469 × 216)
    floor (0.382072448730469 × 65536)
    floor (25039.5)     		tx = 25039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443504333496094 × 216)
    floor (0.443504333496094 × 65536)
    floor (29065.5)     		ty = 29065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25039 / 29065 ti = "16/25039/29065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25039/29065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25039 ÷ 216
    25039 ÷ 65536     		x = 0.382064819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29065 ÷ 216
    29065 ÷ 65536     		y = 0.443496704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382064819335938 × 2 - 1) × π
    -0.235870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74100859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443496704101562 × 2 - 1) × π
    0.113006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.355020678586136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74100859} λ = -0.74100859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355020678586136))-π/2
    2×atan(1.42621014598591)-π/2
    2×0.959292971008127-π/2
    1.91858594201625-1.57079632675     		φ = 0.34778962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74100859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.456665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34778962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.926877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25039 KachelY 29065 -0.74100859 0.34778962 -42.456665 19.926877
    Oben rechts KachelX + 1 25040 KachelY 29065 -0.74091272 0.34778962 -42.451172 19.926877
    Unten links KachelX 25039 KachelY + 1 29066 -0.74100859 0.34769948 -42.456665 19.921713
    Unten rechts KachelX + 1 25040 KachelY + 1 29066 -0.74091272 0.34769948 -42.451172 19.921713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34778962-0.34769948) × R
    9.01400000000163e-05 × 6371000     		dl = 574.281940000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34778962-0.34769948) × R
    9.01400000000163e-05 × 6371000     		dr = 574.281940000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74100859--0.74091272) × cos(0.34778962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940128351902687 × 6371000     		do = 574.218899572405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74100859--0.74091272) × cos(0.34769948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940159069652229 × 6371000     		du = 574.237661598147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34778962)-sin(0.34769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940128351902687-0.940159069652229)×R²
    abs(-0.74091272--0.74100859)×3.07177495424416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07177495424416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07177495424416e-05×40589641000000     		ar = 329768.93120068m²