Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25037 / 29132
↖ ↑ ↗
← N 19.580493°
W 42.467651°		 ← 575.47 m → N 19.580493°
W 42.462158°		 →
↑
575.49 m
↓
↑
575.49 m
↓
N 19.575318°
W 42.467651°		 ← 575.49 m →
331 182 m²		 N 19.575318°
W 42.462158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382041931152344 y=0.444526672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382041931152344 × 216)
    floor (0.382041931152344 × 65536)
    floor (25037.5)     		tx = 25037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444526672363281 × 216)
    floor (0.444526672363281 × 65536)
    floor (29132.5)     		ty = 29132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25037 / 29132 ti = "16/25037/29132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25037/29132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25037 ÷ 216
    25037 ÷ 65536     		x = 0.382034301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29132 ÷ 216
    29132 ÷ 65536     		y = 0.44451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382034301757812 × 2 - 1) × π
    -0.235931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74120034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    0.1109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.348597134037048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74120034} λ = -0.74120034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348597134037048))-π/2
    2×atan(1.41707818276327)-π/2
    2×0.956270203581437-π/2
    1.91254040716287-1.57079632675     		φ = 0.34174408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74120034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.467651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34174408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.580493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25037 KachelY 29132 -0.74120034 0.34174408 -42.467651 19.580493
    Oben rechts KachelX + 1 25038 KachelY 29132 -0.74110447 0.34174408 -42.462158 19.580493
    Unten links KachelX 25037 KachelY + 1 29133 -0.74120034 0.34165375 -42.467651 19.575318
    Unten rechts KachelX + 1 25038 KachelY + 1 29133 -0.74110447 0.34165375 -42.462158 19.575318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34174408-0.34165375) × R
    9.03300000000273e-05 × 6371000     		dl = 575.492430000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34174408-0.34165375) × R
    9.03300000000273e-05 × 6371000     		dr = 575.492430000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74120034--0.74110447) × cos(0.34174408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942171603813253 × 6371000     		do = 575.466892850408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74120034--0.74110447) × cos(0.34165375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942201872336684 × 6371000     		du = 575.485380494335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34174408)-sin(0.34165375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942171603813253-0.942201872336684)×R²
    abs(-0.74110447--0.74120034)×3.02685234313538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02685234313538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02685234313538e-05×40589641000000     		ar = 331182.16052591m²