Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25036 / 29107
↖ ↑ ↗
← N 19.709829°
W 42.473145°		 ← 575.06 m → N 19.709829°
W 42.467651°		 →
↑
575.05 m
↓
↑
575.05 m
↓
N 19.704657°
W 42.473145°		 ← 575.08 m →
330 693 m²		 N 19.704657°
W 42.467651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382026672363281 y=0.444145202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382026672363281 × 216)
    floor (0.382026672363281 × 65536)
    floor (25036.5)     		tx = 25036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444145202636719 × 216)
    floor (0.444145202636719 × 65536)
    floor (29107.5)     		ty = 29107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25036 / 29107 ti = "16/25036/29107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25036/29107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25036 ÷ 216
    25036 ÷ 65536     		x = 0.38201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29107 ÷ 216
    29107 ÷ 65536     		y = 0.444137573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.2359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74129622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444137573242188 × 2 - 1) × π
    0.111724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.350993979018051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74129622} λ = -0.74129622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350993979018051))-π/2
    2×atan(1.4204787732094)-π/2
    2×0.957398868897467-π/2
    1.91479773779493-1.57079632675     		φ = 0.34400141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74129622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.473145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34400141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.709829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25036 KachelY 29107 -0.74129622 0.34400141 -42.473145 19.709829
    Oben rechts KachelX + 1 25037 KachelY 29107 -0.74120034 0.34400141 -42.467651 19.709829
    Unten links KachelX 25036 KachelY + 1 29108 -0.74129622 0.34391115 -42.473145 19.704657
    Unten rechts KachelX + 1 25037 KachelY + 1 29108 -0.74120034 0.34391115 -42.467651 19.704657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34400141-0.34391115) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dl = 575.046460000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34400141-0.34391115) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dr = 575.046460000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74129622--0.74120034) × cos(0.34400141) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.941412703158611 × 6371000     		do = 575.063343014861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74129622--0.74120034) × cos(0.34391115) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.941443140118968 × 6371000     		du = 575.081935477142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34400141)-sin(0.34391115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941412703158611-0.941443140118968)×R²
    abs(-0.74120034--0.74129622)×3.0436960356095e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0436960356095e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0436960356095e-05×40589641000000     		ar = 330693.485665843m²