Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25035 / 24169
↖ ↑ ↗
← S 64.666219°
E 95.042724°		 ← 522.73 m → S 64.666219°
E 95.053711°		 →
↑
522.68 m
↓
↑
522.68 m
↓
S 64.670919°
E 95.042724°		 ← 522.64 m →
273 194 m²		 S 64.670919°
E 95.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764022827148438 y=0.737594604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764022827148438 × 215)
    floor (0.764022827148438 × 32768)
    floor (25035.5)     		tx = 25035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737594604492188 × 215)
    floor (0.737594604492188 × 32768)
    floor (24169.5)     		ty = 24169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25035 / 24169 ti = "15/25035/24169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25035/24169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25035 ÷ 215
    25035 ÷ 32768     		x = 0.764007568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24169 ÷ 215
    24169 ÷ 32768     		y = 0.737579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764007568359375 × 2 - 1) × π
    0.52801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65880847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.47515869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49275505416855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65880847} λ = 1.65880847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49275505416855))-π/2
    2×atan(0.224752596206048)-π/2
    2×0.221078947382026-π/2
    0.442157894764052-1.57079632675     		φ = -1.12863843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65880847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.042724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12863843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.666219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25035 KachelY 24169 1.65880847 -1.12863843 95.042724 -64.666219
    Oben rechts KachelX + 1 25036 KachelY 24169 1.65900022 -1.12863843 95.053711 -64.666219
    Unten links KachelX 25035 KachelY + 1 24170 1.65880847 -1.12872047 95.042724 -64.670919
    Unten rechts KachelX + 1 25036 KachelY + 1 24170 1.65900022 -1.12872047 95.053711 -64.670919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12863843--1.12872047) × R
    8.20399999998944e-05 × 6371000     		dl = 522.676839999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12863843--1.12872047) × R
    8.20399999998944e-05 × 6371000     		dr = 522.676839999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65880847-1.65900022) × cos(-1.12863843) × R
    0.000191749999999935 × 0.427890832567908 × 6371000     		do = 522.728235779957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65880847-1.65900022) × cos(-1.12872047) × R
    0.000191749999999935 × 0.427816680880031 × 6371000     		du = 522.637649167593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12863843)-sin(-1.12872047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427890832567908-0.427816680880031)×R²
    abs(1.65900022-1.65880847)×7.41516878770554e-05×R²
    0.000191749999999935×7.41516878770554e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.41516878770554e-05×40589641000000     		ar = 273194.268846923m²