Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25034 / 25450
↖ ↑ ↗
← S 70.058092°
E 95.031738°		 ← 416.64 m → S 70.058092°
E 95.042724°		 →
↑
416.60 m
↓
↑
416.60 m
↓
S 70.061838°
E 95.031738°		 ← 416.56 m →
173 556 m²		 S 70.061838°
E 95.042724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763992309570312 y=0.776687622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763992309570312 × 215)
    floor (0.763992309570312 × 32768)
    floor (25034.5)     		tx = 25034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776687622070312 × 215)
    floor (0.776687622070312 × 32768)
    floor (25450.5)     		ty = 25450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25034 / 25450 ti = "15/25034/25450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25034/25450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25034 ÷ 215
    25034 ÷ 32768     		x = 0.76397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25450 ÷ 215
    25450 ÷ 32768     		y = 0.77667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    0.5279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65861673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.5533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73838372782172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65861673} λ = 1.65861673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73838372782172))-π/2
    2×atan(0.175804318739909)-π/2
    2×0.17402597814991-π/2
    0.348051956299819-1.57079632675     		φ = -1.22274437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65861673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22274437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.058092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25034 KachelY 25450 1.65861673 -1.22274437 95.031738 -70.058092
    Oben rechts KachelX + 1 25035 KachelY 25450 1.65880847 -1.22274437 95.042724 -70.058092
    Unten links KachelX 25034 KachelY + 1 25451 1.65861673 -1.22280976 95.031738 -70.061838
    Unten rechts KachelX + 1 25035 KachelY + 1 25451 1.65880847 -1.22280976 95.042724 -70.061838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22274437--1.22280976) × R
    6.5390000000054e-05 × 6371000     		dl = 416.599690000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22274437--1.22280976) × R
    6.5390000000054e-05 × 6371000     		dr = 416.599690000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65861673-1.65880847) × cos(-1.22274437) × R
    0.000191739999999996 × 0.341067219356032 × 6371000     		do = 416.639372661134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65861673-1.65880847) × cos(-1.22280976) × R
    0.000191739999999996 × 0.341005749482589 × 6371000     		du = 416.564282567289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22274437)-sin(-1.22280976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341067219356032-0.341005749482589)×R²
    abs(1.65880847-1.65861673)×6.14698734425767e-05×R²
    0.000191739999999996×6.14698734425767e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.14698734425767e-05×40589641000000     		ar = 173556.192299545m²