Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25034 / 24182
↖ ↑ ↗
← S 64.727262°
E 95.031738°		 ← 521.52 m → S 64.727262°
E 95.042724°		 →
↑
521.53 m
↓
↑
521.53 m
↓
S 64.731952°
E 95.031738°		 ← 521.43 m →
271 967 m²		 S 64.731952°
E 95.042724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763992309570312 y=0.737991333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763992309570312 × 215)
    floor (0.763992309570312 × 32768)
    floor (25034.5)     		tx = 25034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737991333007812 × 215)
    floor (0.737991333007812 × 32768)
    floor (24182.5)     		ty = 24182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25034 / 24182 ti = "15/25034/24182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25034/24182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25034 ÷ 215
    25034 ÷ 32768     		x = 0.76397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24182 ÷ 215
    24182 ÷ 32768     		y = 0.73797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    0.5279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65861673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49524777294879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65861673} λ = 1.65861673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49524777294879))-π/2
    2×atan(0.224193048875382)-π/2
    2×0.22054624204473-π/2
    0.441092484089459-1.57079632675     		φ = -1.12970384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65861673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12970384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.727262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25034 KachelY 24182 1.65861673 -1.12970384 95.031738 -64.727262
    Oben rechts KachelX + 1 25035 KachelY 24182 1.65880847 -1.12970384 95.042724 -64.727262
    Unten links KachelX 25034 KachelY + 1 24183 1.65861673 -1.12978570 95.031738 -64.731952
    Unten rechts KachelX + 1 25035 KachelY + 1 24183 1.65880847 -1.12978570 95.042724 -64.731952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12970384--1.12978570) × R
    8.18600000001002e-05 × 6371000     		dl = 521.530060000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12970384--1.12978570) × R
    8.18600000001002e-05 × 6371000     		dr = 521.530060000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65861673-1.65880847) × cos(-1.12970384) × R
    0.000191739999999996 × 0.426927639928923 × 6371000     		do = 521.524362287089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65861673-1.65880847) × cos(-1.12978570) × R
    0.000191739999999996 × 0.426853613663791 × 6371000     		du = 521.433933612285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12970384)-sin(-1.12978570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426927639928923-0.426853613663791)×R²
    abs(1.65880847-1.65861673)×7.40262651327539e-05×R²
    0.000191739999999996×7.40262651327539e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.40262651327539e-05×40589641000000     		ar = 271967.051471901m²