Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25033 / 25451
↖ ↑ ↗
← S 70.061838°
E 95.020752°		 ← 416.59 m → S 70.061838°
E 95.031738°		 →
↑
416.54 m
↓
↑
416.54 m
↓
S 70.065584°
E 95.020752°		 ← 416.51 m →
173 507 m²		 S 70.065584°
E 95.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763961791992188 y=0.776718139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763961791992188 × 215)
    floor (0.763961791992188 × 32768)
    floor (25033.5)     		tx = 25033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776718139648438 × 215)
    floor (0.776718139648438 × 32768)
    floor (25451.5)     		ty = 25451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25033 / 25451 ti = "15/25033/25451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25033/25451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25033 ÷ 215
    25033 ÷ 32768     		x = 0.763946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25451 ÷ 215
    25451 ÷ 32768     		y = 0.776702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    0.52789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65842498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.55340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7385754754202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65842498} λ = 1.65842498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7385754754202))-π/2
    2×atan(0.175770611915693)-π/2
    2×0.173993281686722-π/2
    0.347986563373444-1.57079632675     		φ = -1.22280976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65842498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22280976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.061838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25033 KachelY 25451 1.65842498 -1.22280976 95.020752 -70.061838
    Oben rechts KachelX + 1 25034 KachelY 25451 1.65861673 -1.22280976 95.031738 -70.061838
    Unten links KachelX 25033 KachelY + 1 25452 1.65842498 -1.22287514 95.020752 -70.065584
    Unten rechts KachelX + 1 25034 KachelY + 1 25452 1.65861673 -1.22287514 95.031738 -70.065584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22280976--1.22287514) × R
    6.53799999998927e-05 × 6371000     		dl = 416.535979999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22280976--1.22287514) × R
    6.53799999998927e-05 × 6371000     		dr = 416.535979999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65842498-1.65861673) × cos(-1.22280976) × R
    0.000191750000000157 × 0.341005749482589 × 6371000     		do = 416.586008043939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65842498-1.65861673) × cos(-1.22287514) × R
    0.000191750000000157 × 0.340944287551892 × 6371000     		du = 416.510923737018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22280976)-sin(-1.22287514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341005749482589-0.340944287551892)×R²
    abs(1.65861673-1.65842498)×6.14619306975595e-05×R²
    0.000191750000000157×6.14619306975595e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.14619306975595e-05×40589641000000     		ar = 173507.423519219m²