Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25033 / 25421
↖ ↑ ↗
← S 69.949142°
E 95.020752°		 ← 418.84 m → S 69.949142°
E 95.031738°		 →
↑
418.83 m
↓
↑
418.83 m
↓
S 69.952909°
E 95.020752°		 ← 418.77 m →
175 408 m²		 S 69.952909°
E 95.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763961791992188 y=0.775802612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763961791992188 × 215)
    floor (0.763961791992188 × 32768)
    floor (25033.5)     		tx = 25033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775802612304688 × 215)
    floor (0.775802612304688 × 32768)
    floor (25421.5)     		ty = 25421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25033 / 25421 ti = "15/25033/25421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25033/25421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25033 ÷ 215
    25033 ÷ 32768     		x = 0.763946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25421 ÷ 215
    25421 ÷ 32768     		y = 0.775787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    0.52789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65842498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.55157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73282304746579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65842498} λ = 1.65842498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73282304746579))-π/2
    2×atan(0.176784633443934)-π/2
    2×0.174976743252593-π/2
    0.349953486505186-1.57079632675     		φ = -1.22084284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65842498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22084284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.949142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25033 KachelY 25421 1.65842498 -1.22084284 95.020752 -69.949142
    Oben rechts KachelX + 1 25034 KachelY 25421 1.65861673 -1.22084284 95.031738 -69.949142
    Unten links KachelX 25033 KachelY + 1 25422 1.65842498 -1.22090858 95.020752 -69.952909
    Unten rechts KachelX + 1 25034 KachelY + 1 25422 1.65861673 -1.22090858 95.031738 -69.952909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22084284--1.22090858) × R
    6.57399999999253e-05 × 6371000     		dl = 418.829539999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22084284--1.22090858) × R
    6.57399999999253e-05 × 6371000     		dr = 418.829539999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65842498-1.65861673) × cos(-1.22084284) × R
    0.000191750000000157 × 0.34285411384888 × 6371000     		do = 418.844042502103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65842498-1.65861673) × cos(-1.22090858) × R
    0.000191750000000157 × 0.342792357697479 × 6371000     		du = 418.768598763623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22084284)-sin(-1.22090858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34285411384888-0.342792357697479)×R²
    abs(1.65861673-1.65842498)×6.17561514011378e-05×R²
    0.000191750000000157×6.17561514011378e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.17561514011378e-05×40589641000000     		ar = 175408.45868279m²