Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25032 / 25448
↖ ↑ ↗
← S 70.050596°
E 95.009766°		 ← 416.81 m → S 70.050596°
E 95.020752°		 →
↑
416.79 m
↓
↑
416.79 m
↓
S 70.054345°
E 95.009766°		 ← 416.74 m →
173 707 m²		 S 70.054345°
E 95.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763931274414062 y=0.776626586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763931274414062 × 215)
    floor (0.763931274414062 × 32768)
    floor (25032.5)     		tx = 25032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776626586914062 × 215)
    floor (0.776626586914062 × 32768)
    floor (25448.5)     		ty = 25448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25032 / 25448 ti = "15/25032/25448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25032/25448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25032 ÷ 215
    25032 ÷ 32768     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25448 ÷ 215
    25448 ÷ 32768     		y = 0.776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.55322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73800023262476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73800023262476))-π/2
    2×atan(0.175871751781048)-π/2
    2×0.174091388759433-π/2
    0.348182777518866-1.57079632675     		φ = -1.22261355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22261355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.050596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25032 KachelY 25448 1.65823323 -1.22261355 95.009766 -70.050596
    Oben rechts KachelX + 1 25033 KachelY 25448 1.65842498 -1.22261355 95.020752 -70.050596
    Unten links KachelX 25032 KachelY + 1 25449 1.65823323 -1.22267897 95.009766 -70.054345
    Unten rechts KachelX + 1 25033 KachelY + 1 25449 1.65842498 -1.22267897 95.020752 -70.054345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22261355--1.22267897) × R
    6.54200000000937e-05 × 6371000     		dl = 416.790820000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22261355--1.22267897) × R
    6.54200000000937e-05 × 6371000     		dr = 416.790820000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65842498) × cos(-1.22261355) × R
    0.000191749999999935 × 0.341190192327367 × 6371000     		do = 416.811330662019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65842498) × cos(-1.22267897) × R
    0.000191749999999935 × 0.341128697171287 × 6371000     		du = 416.736205765667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22261355)-sin(-1.22267897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341190192327367-0.341128697171287)×R²
    abs(1.65842498-1.65823323)×6.14951560793386e-05×R²
    0.000191749999999935×6.14951560793386e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.14951560793386e-05×40589641000000     		ar = 173707.480670002m²