Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25031 / 25530
↖ ↑ ↗
← S 70.355706°
E 94.998779°		 ← 410.69 m → S 70.355706°
E 95.009766°		 →
↑
410.67 m
↓
↑
410.67 m
↓
S 70.359399°
E 94.998779°		 ← 410.62 m →
168 645 m²		 S 70.359399°
E 95.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763900756835938 y=0.779129028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763900756835938 × 215)
    floor (0.763900756835938 × 32768)
    floor (25031.5)     		tx = 25031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779129028320312 × 215)
    floor (0.779129028320312 × 32768)
    floor (25530.5)     		ty = 25530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25031 / 25530 ti = "15/25031/25530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25031/25530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25031 ÷ 215
    25031 ÷ 32768     		x = 0.763885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25530 ÷ 215
    25530 ÷ 32768     		y = 0.77911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763885498046875 × 2 - 1) × π
    0.52777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65804148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.5582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75372353570013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65804148} λ = 1.65804148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75372353570013))-π/2
    2×atan(0.173128093137813)-π/2
    2×0.171428807773631-π/2
    0.342857615547262-1.57079632675     		φ = -1.22793871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65804148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.998779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22793871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.355706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25031 KachelY 25530 1.65804148 -1.22793871 94.998779 -70.355706
    Oben rechts KachelX + 1 25032 KachelY 25530 1.65823323 -1.22793871 95.009766 -70.355706
    Unten links KachelX 25031 KachelY + 1 25531 1.65804148 -1.22800317 94.998779 -70.359399
    Unten rechts KachelX + 1 25032 KachelY + 1 25531 1.65823323 -1.22800317 95.009766 -70.359399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22793871--1.22800317) × R
    6.44599999999329e-05 × 6371000     		dl = 410.674659999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22793871--1.22800317) × R
    6.44599999999329e-05 × 6371000     		dr = 410.674659999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65804148-1.65823323) × cos(-1.22793871) × R
    0.000191749999999935 × 0.336179758417439 × 6371000     		do = 410.690387938122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65804148-1.65823323) × cos(-1.22800317) × R
    0.000191749999999935 × 0.336119049430333 × 6371000     		du = 410.616223456646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22793871)-sin(-1.22800317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336179758417439-0.336119049430333)×R²
    abs(1.65823323-1.65804148)×6.07089871052513e-05×R²
    0.000191749999999935×6.07089871052513e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.07089871052513e-05×40589641000000     		ar = 168644.906753784m²