Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25030 / 29118
↖ ↑ ↗
← N 19.652934°
W 42.506104°		 ← 575.27 m → N 19.652934°
W 42.500610°		 →
↑
575.24 m
↓
↑
575.24 m
↓
N 19.647761°
W 42.506104°		 ← 575.29 m →
330 921 m²		 N 19.647761°
W 42.500610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381935119628906 y=0.444313049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381935119628906 × 216)
    floor (0.381935119628906 × 65536)
    floor (25030.5)     		tx = 25030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444313049316406 × 216)
    floor (0.444313049316406 × 65536)
    floor (29118.5)     		ty = 29118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25030 / 29118 ti = "16/25030/29118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25030/29118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25030 ÷ 216
    25030 ÷ 65536     		x = 0.381927490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29118 ÷ 216
    29118 ÷ 65536     		y = 0.444305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.23614501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74187146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    0.11138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.34993936722641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74187146} λ = -0.74187146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34993936722641))-π/2
    2×atan(1.4189815092003)-π/2
    2×0.956902368219248-π/2
    1.9138047364385-1.57079632675     		φ = 0.34300841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74187146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.506104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34300841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.652934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25030 KachelY 29118 -0.74187146 0.34300841 -42.506104 19.652934
    Oben rechts KachelX + 1 25031 KachelY 29118 -0.74177558 0.34300841 -42.500610 19.652934
    Unten links KachelX 25030 KachelY + 1 29119 -0.74187146 0.34291812 -42.506104 19.647761
    Unten rechts KachelX + 1 25031 KachelY + 1 29119 -0.74177558 0.34291812 -42.500610 19.647761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34300841-0.34291812) × R
    9.02899999999929e-05 × 6371000     		dl = 575.237589999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34300841-0.34291812) × R
    9.02899999999929e-05 × 6371000     		dr = 575.237589999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74187146--0.74177558) × cos(0.34300841) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941747134927009 × 6371000     		do = 575.267631156212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74187146--0.74177558) × cos(0.34291812) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941777497581004 × 6371000     		du = 575.286178228342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34300841)-sin(0.34291812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941747134927009-0.941777497581004)×R²
    abs(-0.74177558--0.74187146)×3.03626539952528e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.03626539952528e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.03626539952528e-05×40589641000000     		ar = 330920.900462667m²