Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2503 / 2620
↖ ↑ ↗
← S 44.840291°
E 39.990234°		 ← 6 929.78 m → S 44.840291°
E 40.078125°		 →
↑
6 926.04 m
↓
↑
6 926.04 m
↓
S 44.902578°
E 39.990234°		 ← 6 922.29 m →
47 969 998 m²		 S 44.902578°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6112060546875 y=0.6397705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6112060546875 × 212)
    floor (0.6112060546875 × 4096)
    floor (2503.5)     		tx = 2503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6397705078125 × 212)
    floor (0.6397705078125 × 4096)
    floor (2620.5)     		ty = 2620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2503 / 2620 ti = "12/2503/2620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2503/2620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2503 ÷ 212
    2503 ÷ 4096     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2620 ÷ 212
    2620 ÷ 4096     		y = 0.6396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877437010645508))-π/2
    2×atan(0.415847359370005)-π/2
    2×0.394092808697276-π/2
    0.788185617394552-1.57079632675     		φ = -0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2503 KachelY 2620 0.69796126 -0.78261071 39.990234 -44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 2504 KachelY 2620 0.69949524 -0.78261071 40.078125 -44.840291
    Unten links KachelX 2503 KachelY + 1 2621 0.69796126 -0.78369783 39.990234 -44.902578
    Unten rechts KachelX + 1 2504 KachelY + 1 2621 0.69949524 -0.78369783 40.078125 -44.902578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78261071--0.78369783) × R
    0.00108712 × 6371000     		dl = 6926.04151999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78261071--0.78369783) × R
    0.00108712 × 6371000     		dr = 6926.04151999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69949524) × cos(-0.78261071) × R
    0.00153397999999993 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 6929.78103349565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69949524) × cos(-0.78369783) × R
    0.00153397999999993 × 0.708308075712955 × 6371000     		du = 6922.28531844804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78261071)-sin(-0.78369783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.708308075712955)×R²
    abs(0.69949524-0.69796126)×0.000766983049271031×R²
    0.00153397999999993×0.000766983049271031×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766983049271031×40589641000000     		ar = 47969998.0700431m²