Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2503 / 2581
↖ ↑ ↗
← S 42.358544°
E 39.990234°		 ← 7 221.68 m → S 42.358544°
E 40.078125°		 →
↑
7 217.96 m
↓
↑
7 217.96 m
↓
S 42.423457°
E 39.990234°		 ← 7 214.22 m →
52 098 871 m²		 S 42.423457°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6112060546875 y=0.6302490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6112060546875 × 212)
    floor (0.6112060546875 × 4096)
    floor (2503.5)     		tx = 2503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6302490234375 × 212)
    floor (0.6302490234375 × 4096)
    floor (2581.5)     		ty = 2581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2503 / 2581 ti = "12/2503/2581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2503/2581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2503 ÷ 212
    2503 ÷ 4096     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2581 ÷ 212
    2581 ÷ 4096     		y = 0.630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817611759919678))-π/2
    2×atan(0.441484768079403)-π/2
    2×0.415750134550612-π/2
    0.831500269101224-1.57079632675     		φ = -0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2503 KachelY 2581 0.69796126 -0.73929606 39.990234 -42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 2504 KachelY 2581 0.69949524 -0.73929606 40.078125 -42.358544
    Unten links KachelX 2503 KachelY + 1 2582 0.69796126 -0.74042900 39.990234 -42.423457
    Unten rechts KachelX + 1 2504 KachelY + 1 2582 0.69949524 -0.74042900 40.078125 -42.423457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73929606--0.74042900) × R
    0.00113293999999997 × 6371000     		dl = 7217.96073999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73929606--0.74042900) × R
    0.00113293999999997 × 6371000     		dr = 7217.96073999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69949524) × cos(-0.73929606) × R
    0.00153397999999993 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 7221.68035423304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69949524) × cos(-0.74042900) × R
    0.00153397999999993 × 0.738179221270127 × 6371000     		du = 7214.2156231075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73929606)-sin(-0.74042900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.738179221270127)×R²
    abs(0.69949524-0.69796126)×0.000763812685553256×R²
    0.00153397999999993×0.000763812685553256×6371000²
    0.00153397999999993×0.000763812685553256×40589641000000     		ar = 52098870.7782241m²