Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25029 / 24171
↖ ↑ ↗
← S 64.675619°
E 94.976807°		 ← 522.55 m → S 64.675619°
E 94.987793°		 →
↑
522.49 m
↓
↑
522.49 m
↓
S 64.680318°
E 94.976807°		 ← 522.46 m →
273 000 m²		 S 64.680318°
E 94.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763839721679688 y=0.737655639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763839721679688 × 215)
    floor (0.763839721679688 × 32768)
    floor (25029.5)     		tx = 25029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737655639648438 × 215)
    floor (0.737655639648438 × 32768)
    floor (24171.5)     		ty = 24171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25029 / 24171 ti = "15/25029/24171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25029/24171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25029 ÷ 215
    25029 ÷ 32768     		x = 0.763824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24171 ÷ 215
    24171 ÷ 32768     		y = 0.737640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763824462890625 × 2 - 1) × π
    0.52764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65765799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.47528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49313854936551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65765799} λ = 1.65765799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49313854936551))-π/2
    2×atan(0.224666421189807)-π/2
    2×0.220996914560899-π/2
    0.441993829121797-1.57079632675     		φ = -1.12880250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65765799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.976807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12880250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.675619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25029 KachelY 24171 1.65765799 -1.12880250 94.976807 -64.675619
    Oben rechts KachelX + 1 25030 KachelY 24171 1.65784974 -1.12880250 94.987793 -64.675619
    Unten links KachelX 25029 KachelY + 1 24172 1.65765799 -1.12888451 94.976807 -64.680318
    Unten rechts KachelX + 1 25030 KachelY + 1 24172 1.65784974 -1.12888451 94.987793 -64.680318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12880250--1.12888451) × R
    8.20100000000767e-05 × 6371000     		dl = 522.485710000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12880250--1.12888451) × R
    8.20100000000767e-05 × 6371000     		dr = 522.485710000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65765799-1.65784974) × cos(-1.12880250) × R
    0.000191750000000157 × 0.427742535351713 × 6371000     		do = 522.547070080594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65765799-1.65784974) × cos(-1.12888451) × R
    0.000191750000000157 × 0.427668405023864 × 6371000     		du = 522.456509562477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12880250)-sin(-1.12888451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427742535351713-0.427668405023864)×R²
    abs(1.65784974-1.65765799)×7.41303278493088e-05×R²
    0.000191750000000157×7.41303278493088e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.41303278493088e-05×40589641000000     		ar = 272999.718784553m²