Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25028 / 24947
↖ ↑ ↗
← S 68.085609°
E 94.965820°		 ← 455.94 m → S 68.085609°
E 94.976807°		 →
↑
455.91 m
↓
↑
455.91 m
↓
S 68.089709°
E 94.965820°		 ← 455.86 m →
207 849 m²		 S 68.089709°
E 94.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763809204101562 y=0.761337280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763809204101562 × 215)
    floor (0.763809204101562 × 32768)
    floor (25028.5)     		tx = 25028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761337280273438 × 215)
    floor (0.761337280273438 × 32768)
    floor (24947.5)     		ty = 24947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25028 / 24947 ti = "15/25028/24947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25028/24947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25028 ÷ 215
    25028 ÷ 32768     		x = 0.7637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24947 ÷ 215
    24947 ÷ 32768     		y = 0.761322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    0.527587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65746624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.52264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64193468578616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65746624} λ = 1.65746624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64193468578616))-π/2
    2×atan(0.193605114660797)-π/2
    2×0.191239138244998-π/2
    0.382478276489996-1.57079632675     		φ = -1.18831805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65746624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18831805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.085609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25028 KachelY 24947 1.65746624 -1.18831805 94.965820 -68.085609
    Oben rechts KachelX + 1 25029 KachelY 24947 1.65765799 -1.18831805 94.976807 -68.085609
    Unten links KachelX 25028 KachelY + 1 24948 1.65746624 -1.18838961 94.965820 -68.089709
    Unten rechts KachelX + 1 25029 KachelY + 1 24948 1.65765799 -1.18838961 94.976807 -68.089709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18831805--1.18838961) × R
    7.15600000000816e-05 × 6371000     		dl = 455.90876000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18831805--1.18838961) × R
    7.15600000000816e-05 × 6371000     		dr = 455.90876000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65746624-1.65765799) × cos(-1.18831805) × R
    0.000191749999999935 × 0.373220816004224 × 6371000     		do = 455.941197747634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65746624-1.65765799) × cos(-1.18838961) × R
    0.000191749999999935 × 0.373154425792441 × 6371000     		du = 455.860092859104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18831805)-sin(-1.18838961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373220816004224-0.373154425792441)×R²
    abs(1.65765799-1.65746624)×6.63902117828408e-05×R²
    0.000191749999999935×6.63902117828408e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.63902117828408e-05×40589641000000     		ar = 207849.097972216m²