Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25028 / 24647
↖ ↑ ↗
← S 66.822196°
E 94.965820°		 ← 480.82 m → S 66.822196°
E 94.976807°		 →
↑
480.82 m
↓
↑
480.82 m
↓
S 66.826520°
E 94.965820°		 ← 480.74 m →
231 167 m²		 S 66.826520°
E 94.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763809204101562 y=0.752182006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763809204101562 × 215)
    floor (0.763809204101562 × 32768)
    floor (25028.5)     		tx = 25028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752182006835938 × 215)
    floor (0.752182006835938 × 32768)
    floor (24647.5)     		ty = 24647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25028 / 24647 ti = "15/25028/24647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25028/24647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25028 ÷ 215
    25028 ÷ 32768     		x = 0.7637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24647 ÷ 215
    24647 ÷ 32768     		y = 0.752166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    0.527587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65746624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.50433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5844104062421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65746624} λ = 1.65746624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5844104062421))-π/2
    2×atan(0.205068664685375)-π/2
    2×0.202264491422558-π/2
    0.404528982845115-1.57079632675     		φ = -1.16626734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65746624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16626734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.822196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25028 KachelY 24647 1.65746624 -1.16626734 94.965820 -66.822196
    Oben rechts KachelX + 1 25029 KachelY 24647 1.65765799 -1.16626734 94.976807 -66.822196
    Unten links KachelX 25028 KachelY + 1 24648 1.65746624 -1.16634281 94.965820 -66.826520
    Unten rechts KachelX + 1 25029 KachelY + 1 24648 1.65765799 -1.16634281 94.976807 -66.826520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16626734--1.16634281) × R
    7.54699999998554e-05 × 6371000     		dl = 480.819369999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16626734--1.16634281) × R
    7.54699999998554e-05 × 6371000     		dr = 480.819369999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65746624-1.65765799) × cos(-1.16626734) × R
    0.000191749999999935 × 0.393585807313672 × 6371000     		do = 480.819870457156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65746624-1.65765799) × cos(-1.16634281) × R
    0.000191749999999935 × 0.393516427536312 × 6371000     		du = 480.735113397977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16626734)-sin(-1.16634281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393585807313672-0.393516427536312)×R²
    abs(1.65765799-1.65746624)×6.93797773599347e-05×R²
    0.000191749999999935×6.93797773599347e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.93797773599347e-05×40589641000000     		ar = 231167.130887837m²