Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25027 / 24943
↖ ↑ ↗
← S 68.069202°
E 94.954834°		 ← 456.27 m → S 68.069202°
E 94.965820°		 →
↑
456.23 m
↓
↑
456.23 m
↓
S 68.073305°
E 94.954834°		 ← 456.18 m →
208 142 m²		 S 68.073305°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763778686523438 y=0.761215209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763778686523438 × 215)
    floor (0.763778686523438 × 32768)
    floor (25027.5)     		tx = 25027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761215209960938 × 215)
    floor (0.761215209960938 × 32768)
    floor (24943.5)     		ty = 24943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25027 / 24943 ti = "15/25027/24943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25027/24943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25027 ÷ 215
    25027 ÷ 32768     		x = 0.763763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24943 ÷ 215
    24943 ÷ 32768     		y = 0.761199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52752685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65727449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.52239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64116769539224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65727449} λ = 1.65727449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64116769539224))-π/2
    2×atan(0.193753664884971)-π/2
    2×0.191382317568264-π/2
    0.382764635136527-1.57079632675     		φ = -1.18803169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65727449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.954834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18803169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.069202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25027 KachelY 24943 1.65727449 -1.18803169 94.954834 -68.069202
    Oben rechts KachelX + 1 25028 KachelY 24943 1.65746624 -1.18803169 94.965820 -68.069202
    Unten links KachelX 25027 KachelY + 1 24944 1.65727449 -1.18810330 94.954834 -68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 25028 KachelY + 1 24944 1.65746624 -1.18810330 94.965820 -68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18803169--1.18810330) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dl = 456.227309999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18803169--1.18810330) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dr = 456.227309999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65727449-1.65746624) × cos(-1.18803169) × R
    0.000191749999999935 × 0.373486469052216 × 6371000     		do = 456.265729937943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65727449-1.65746624) × cos(-1.18810330) × R
    0.000191749999999935 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 456.184577731582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18803169)-sin(-1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373486469052216-0.373420040107369)×R²
    abs(1.65746624-1.65727449)×6.64289448473743e-05×R²
    0.000191749999999935×6.64289448473743e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.64289448473743e-05×40589641000000     		ar = 208142.374777273m²