Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25026 / 25153
↖ ↑ ↗
← S 68.914957°
E 94.943848°		 ← 439.47 m → S 68.914957°
E 94.954834°		 →
↑
439.47 m
↓
↑
439.47 m
↓
S 68.918910°
E 94.943848°		 ← 439.39 m →
193 115 m²		 S 68.918910°
E 94.954834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763748168945312 y=0.767623901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763748168945312 × 215)
    floor (0.763748168945312 × 32768)
    floor (25026.5)     		tx = 25026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767623901367188 × 215)
    floor (0.767623901367188 × 32768)
    floor (25153.5)     		ty = 25153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25026 / 25153 ti = "15/25026/25153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25026/25153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25026 ÷ 215
    25026 ÷ 32768     		x = 0.76373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25153 ÷ 215
    25153 ÷ 32768     		y = 0.767608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    0.5274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65708275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.53521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68143469107309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65708275} λ = 1.65708275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68143469107309))-π/2
    2×atan(0.186106778678396)-π/2
    2×0.184001706703717-π/2
    0.368003413407433-1.57079632675     		φ = -1.20279291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65708275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20279291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.914957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25026 KachelY 25153 1.65708275 -1.20279291 94.943848 -68.914957
    Oben rechts KachelX + 1 25027 KachelY 25153 1.65727449 -1.20279291 94.954834 -68.914957
    Unten links KachelX 25026 KachelY + 1 25154 1.65708275 -1.20286189 94.943848 -68.918910
    Unten rechts KachelX + 1 25027 KachelY + 1 25154 1.65727449 -1.20286189 94.954834 -68.918910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20279291--1.20286189) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dl = 439.471579999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20279291--1.20286189) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dr = 439.471579999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65708275-1.65727449) × cos(-1.20279291) × R
    0.000191739999999996 × 0.359753243320205 × 6371000     		do = 439.465762475621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65708275-1.65727449) × cos(-1.20286189) × R
    0.000191739999999996 × 0.359688880849042 × 6371000     		du = 439.387138855155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20279291)-sin(-1.20286189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359753243320205-0.359688880849042)×R²
    abs(1.65727449-1.65708275)×6.43624711629265e-05×R²
    0.000191739999999996×6.43624711629265e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.43624711629265e-05×40589641000000     		ar = 193115.436644041m²