Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25025 / 25155
↖ ↑ ↗
← S 68.922861°
E 94.932861°		 ← 439.33 m → S 68.922861°
E 94.943848°		 →
↑
439.28 m
↓
↑
439.28 m
↓
S 68.926811°
E 94.932861°		 ← 439.25 m →
192 972 m²		 S 68.926811°
E 94.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763717651367188 y=0.767684936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763717651367188 × 215)
    floor (0.763717651367188 × 32768)
    floor (25025.5)     		tx = 25025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767684936523438 × 215)
    floor (0.767684936523438 × 32768)
    floor (25155.5)     		ty = 25155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25025 / 25155 ti = "15/25025/25155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25025/25155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25025 ÷ 215
    25025 ÷ 32768     		x = 0.763702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25155 ÷ 215
    25155 ÷ 32768     		y = 0.767669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    0.52740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65689100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.53533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68181818627005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65689100} λ = 1.65689100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68181818627005))-π/2
    2×atan(0.186035421306131)-π/2
    2×0.183932737224128-π/2
    0.367865474448256-1.57079632675     		φ = -1.20293085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65689100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20293085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.922861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25025 KachelY 25155 1.65689100 -1.20293085 94.932861 -68.922861
    Oben rechts KachelX + 1 25026 KachelY 25155 1.65708275 -1.20293085 94.943848 -68.922861
    Unten links KachelX 25025 KachelY + 1 25156 1.65689100 -1.20299980 94.932861 -68.926811
    Unten rechts KachelX + 1 25026 KachelY + 1 25156 1.65708275 -1.20299980 94.943848 -68.926811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20293085--1.20299980) × R
    6.89499999999565e-05 × 6371000     		dl = 439.280449999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20293085--1.20299980) × R
    6.89499999999565e-05 × 6371000     		dr = 439.280449999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65689100-1.65708275) × cos(-1.20293085) × R
    0.000191750000000157 × 0.359624535328335 × 6371000     		do = 439.331447620466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65689100-1.65708275) × cos(-1.20299980) × R
    0.000191750000000157 × 0.359560197428659 × 6371000     		du = 439.252849916959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20293085)-sin(-1.20299980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359624535328335-0.359560197428659)×R²
    abs(1.65708275-1.65689100)×6.43378996759703e-05×R²
    0.000191750000000157×6.43378996759703e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.43378996759703e-05×40589641000000     		ar = 192972.452868913m²