Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25024 / 24256
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 94.921875°		 ← 514.89 m → S 65.072130°
E 94.932861°		 →
↑
514.84 m
↓
↑
514.84 m
↓
S 65.076760°
E 94.921875°		 ← 514.80 m →
265 065 m²		 S 65.076760°
E 94.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763687133789062 y=0.740249633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763687133789062 × 215)
    floor (0.763687133789062 × 32768)
    floor (25024.5)     		tx = 25024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740249633789062 × 215)
    floor (0.740249633789062 × 32768)
    floor (24256.5)     		ty = 24256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25024 / 24256 ti = "15/25024/24256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25024/24256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25024 ÷ 215
    25024 ÷ 32768     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24256 ÷ 215
    24256 ÷ 32768     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25024 KachelY 24256 1.65669925 -1.13572292 94.921875 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 25025 KachelY 24256 1.65689100 -1.13572292 94.932861 -65.072130
    Unten links KachelX 25024 KachelY + 1 24257 1.65669925 -1.13580373 94.921875 -65.076760
    Unten rechts KachelX + 1 25025 KachelY + 1 24257 1.65689100 -1.13580373 94.932861 -65.076760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13580373) × R
    8.08099999998202e-05 × 6371000     		dl = 514.840509998854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13580373) × R
    8.08099999998202e-05 × 6371000     		dr = 514.840509998854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65689100) × cos(-1.13572292) × R
    0.000191749999999935 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 514.892810322319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65689100) × cos(-1.13580373) × R
    0.000191749999999935 × 0.421403687610175 × 6371000     		du = 514.803284879154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13580373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421403687610175)×R²
    abs(1.65689100-1.65669925)×7.3283044209338e-05×R²
    0.000191749999999935×7.3283044209338e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.3283044209338e-05×40589641000000     		ar = 265064.631543388m²