Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25021 / 29123
↖ ↑ ↗
← N 19.627066°
W 42.555542°		 ← 575.30 m → N 19.627066°
W 42.550049°		 →
↑
575.37 m
↓
↑
575.37 m
↓
N 19.621892°
W 42.555542°		 ← 575.32 m →
331 013 m²		 N 19.621892°
W 42.550049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381797790527344 y=0.444389343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381797790527344 × 216)
    floor (0.381797790527344 × 65536)
    floor (25021.5)     		tx = 25021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444389343261719 × 216)
    floor (0.444389343261719 × 65536)
    floor (29123.5)     		ty = 29123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25021 / 29123 ti = "16/25021/29123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25021/29123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25021 ÷ 216
    25021 ÷ 65536     		x = 0.381790161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29123 ÷ 216
    29123 ÷ 65536     		y = 0.444381713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381790161132812 × 2 - 1) × π
    -0.236419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74273432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    0.111236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.349459998230209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74273432} λ = -0.74273432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349459998230209))-π/2
    2×atan(1.41830145646973)-π/2
    2×0.956676627840821-π/2
    1.91335325568164-1.57079632675     		φ = 0.34255693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74273432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.555542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34255693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.627066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25021 KachelY 29123 -0.74273432 0.34255693 -42.555542 19.627066
    Oben rechts KachelX + 1 25022 KachelY 29123 -0.74263845 0.34255693 -42.550049 19.627066
    Unten links KachelX 25021 KachelY + 1 29124 -0.74273432 0.34246662 -42.555542 19.621892
    Unten rechts KachelX + 1 25022 KachelY + 1 29124 -0.74263845 0.34246662 -42.550049 19.621892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34255693-0.34246662) × R
    9.03099999999823e-05 × 6371000     		dl = 575.365009999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34255693-0.34246662) × R
    9.03099999999823e-05 × 6371000     		dr = 575.365009999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74273432--0.74263845) × cos(0.34255693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941898881495031 × 6371000     		do = 575.300317393832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74273432--0.74263845) × cos(0.34246662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941929212472042 × 6371000     		du = 575.318843183642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34255693)-sin(0.34246662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941898881495031-0.941929212472042)×R²
    abs(-0.74263845--0.74273432)×3.0330977011328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0330977011328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0330977011328e-05×40589641000000     		ar = 331013.002640818m²