Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25021 / 24957
↖ ↑ ↗
← S 68.126576°
E 94.888916°		 ← 455.13 m → S 68.126576°
E 94.899903°		 →
↑
455.08 m
↓
↑
455.08 m
↓
S 68.130669°
E 94.888916°		 ← 455.05 m →
207 103 m²		 S 68.130669°
E 94.899903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763595581054688 y=0.761642456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763595581054688 × 215)
    floor (0.763595581054688 × 32768)
    floor (25021.5)     		tx = 25021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761642456054688 × 215)
    floor (0.761642456054688 × 32768)
    floor (24957.5)     		ty = 24957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25021 / 24957 ti = "15/25021/24957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25021/24957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25021 ÷ 215
    25021 ÷ 32768     		x = 0.763580322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24957 ÷ 215
    24957 ÷ 32768     		y = 0.761627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763580322265625 × 2 - 1) × π
    0.52716064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65612401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.52325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64385216177097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65612401} λ = 1.65612401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64385216177097))-π/2
    2×atan(0.193234237190855)-π/2
    2×0.190881635379413-π/2
    0.381763270758826-1.57079632675     		φ = -1.18903306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65612401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18903306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.126576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25021 KachelY 24957 1.65612401 -1.18903306 94.888916 -68.126576
    Oben rechts KachelX + 1 25022 KachelY 24957 1.65631576 -1.18903306 94.899903 -68.126576
    Unten links KachelX 25021 KachelY + 1 24958 1.65612401 -1.18910449 94.888916 -68.130669
    Unten rechts KachelX + 1 25022 KachelY + 1 24958 1.65631576 -1.18910449 94.899903 -68.130669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18903306--1.18910449) × R
    7.14299999999835e-05 × 6371000     		dl = 455.080529999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18903306--1.18910449) × R
    7.14299999999835e-05 × 6371000     		dr = 455.080529999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65612401-1.65631576) × cos(-1.18903306) × R
    0.000191749999999935 × 0.372557375463888 × 6371000     		do = 455.130712743519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65612401-1.65631576) × cos(-1.18910449) × R
    0.000191749999999935 × 0.37249108681917 × 6371000     		du = 455.049731933302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18903306)-sin(-1.18910449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372557375463888-0.37249108681917)×R²
    abs(1.65631576-1.65612401)×6.62886447181932e-05×R²
    0.000191749999999935×6.62886447181932e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.62886447181932e-05×40589641000000     		ar = 207102.699667689m²