Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25020 / 29108
↖ ↑ ↗
← N 19.704657°
W 42.561035°		 ← 575.08 m → N 19.704657°
W 42.555542°		 →
↑
575.05 m
↓
↑
575.05 m
↓
N 19.699486°
W 42.561035°		 ← 575.10 m →
330 704 m²		 N 19.699486°
W 42.555542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381782531738281 y=0.444160461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381782531738281 × 216)
    floor (0.381782531738281 × 65536)
    floor (25020.5)     		tx = 25020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444160461425781 × 216)
    floor (0.444160461425781 × 65536)
    floor (29108.5)     		ty = 29108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25020 / 29108 ti = "16/25020/29108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25020/29108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25020 ÷ 216
    25020 ÷ 65536     		x = 0.38177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29108 ÷ 216
    29108 ÷ 65536     		y = 0.44415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74283020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    0.1116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.350898105218811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74283020} λ = -0.74283020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350898105218811))-π/2
    2×atan(1.42034259304083)-π/2
    2×0.957353739761691-π/2
    1.91470747952338-1.57079632675     		φ = 0.34391115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74283020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.561035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34391115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.704657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25020 KachelY 29108 -0.74283020 0.34391115 -42.561035 19.704657
    Oben rechts KachelX + 1 25021 KachelY 29108 -0.74273432 0.34391115 -42.555542 19.704657
    Unten links KachelX 25020 KachelY + 1 29109 -0.74283020 0.34382089 -42.561035 19.699486
    Unten rechts KachelX + 1 25021 KachelY + 1 29109 -0.74273432 0.34382089 -42.555542 19.699486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34391115-0.34382089) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dl = 575.046460000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34391115-0.34382089) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dr = 575.046460000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74283020--0.74273432) × cos(0.34391115) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941443140118968 × 6371000     		do = 575.081935477808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74283020--0.74273432) × cos(0.34382089) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941473569409511 × 6371000     		du = 575.100523254971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34391115)-sin(0.34382089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941443140118968-0.941473569409511)×R²
    abs(-0.74273432--0.74283020)×3.04292905435322e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04292905435322e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04292905435322e-05×40589641000000     		ar = 330704.175848885m²