Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25019 / 24443
↖ ↑ ↗
← S 65.924072°
E 94.866943°		 ← 498.36 m → S 65.924072°
E 94.877930°		 →
↑
498.34 m
↓
↑
498.34 m
↓
S 65.928554°
E 94.866943°		 ← 498.28 m →
248 333 m²		 S 65.928554°
E 94.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763534545898438 y=0.745956420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763534545898438 × 215)
    floor (0.763534545898438 × 32768)
    floor (25019.5)     		tx = 25019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745956420898438 × 215)
    floor (0.745956420898438 × 32768)
    floor (24443.5)     		ty = 24443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25019 / 24443 ti = "15/25019/24443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25019/24443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25019 ÷ 215
    25019 ÷ 32768     		x = 0.763519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24443 ÷ 215
    24443 ÷ 32768     		y = 0.745941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763519287109375 × 2 - 1) × π
    0.52703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65574051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.49188232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54529389615213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65574051} λ = 1.65574051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54529389615213))-π/2
    2×atan(0.213249188896258)-π/2
    2×0.210102103651769-π/2
    0.420204207303538-1.57079632675     		φ = -1.15059212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65574051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15059212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.924072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25019 KachelY 24443 1.65574051 -1.15059212 94.866943 -65.924072
    Oben rechts KachelX + 1 25020 KachelY 24443 1.65593226 -1.15059212 94.877930 -65.924072
    Unten links KachelX 25019 KachelY + 1 24444 1.65574051 -1.15067034 94.866943 -65.928554
    Unten rechts KachelX + 1 25020 KachelY + 1 24444 1.65593226 -1.15067034 94.877930 -65.928554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15059212--1.15067034) × R
    7.82200000000177e-05 × 6371000     		dl = 498.339620000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15059212--1.15067034) × R
    7.82200000000177e-05 × 6371000     		dr = 498.339620000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65574051-1.65593226) × cos(-1.15059212) × R
    0.000191749999999935 × 0.407946903522341 × 6371000     		do = 498.363949258686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65574051-1.65593226) × cos(-1.15067034) × R
    0.000191749999999935 × 0.407875486972187 × 6371000     		du = 498.276703997919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15059212)-sin(-1.15067034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407946903522341-0.407875486972187)×R²
    abs(1.65593226-1.65574051)×7.14165501536912e-05×R²
    0.000191749999999935×7.14165501536912e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.14165501536912e-05×40589641000000     		ar = 248332.762337321m²