Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25018 / 25466
↖ ↑ ↗
← S 70.117958°
E 94.855957°		 ← 415.44 m → S 70.117958°
E 94.866943°		 →
↑
415.45 m
↓
↑
415.45 m
↓
S 70.121695°
E 94.855957°		 ← 415.36 m →
172 580 m²		 S 70.121695°
E 94.866943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763504028320312 y=0.777175903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763504028320312 × 215)
    floor (0.763504028320312 × 32768)
    floor (25018.5)     		tx = 25018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777175903320312 × 215)
    floor (0.777175903320312 × 32768)
    floor (25466.5)     		ty = 25466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25018 / 25466 ti = "15/25018/25466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25018/25466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25018 ÷ 215
    25018 ÷ 32768     		x = 0.76348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25466 ÷ 215
    25466 ÷ 32768     		y = 0.77716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65554877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.5543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7414516893974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65554877} λ = 1.65554877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7414516893974))-π/2
    2×atan(0.175265784368963)-π/2
    2×0.173503541400793-π/2
    0.347007082801585-1.57079632675     		φ = -1.22378924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65554877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22378924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.117958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25018 KachelY 25466 1.65554877 -1.22378924 94.855957 -70.117958
    Oben rechts KachelX + 1 25019 KachelY 25466 1.65574051 -1.22378924 94.866943 -70.117958
    Unten links KachelX 25018 KachelY + 1 25467 1.65554877 -1.22385445 94.855957 -70.121695
    Unten rechts KachelX + 1 25019 KachelY + 1 25467 1.65574051 -1.22385445 94.866943 -70.121695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22378924--1.22385445) × R
    6.52100000000377e-05 × 6371000     		dl = 415.45291000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22378924--1.22385445) × R
    6.52100000000377e-05 × 6371000     		dr = 415.45291000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65554877-1.65574051) × cos(-1.22378924) × R
    0.000191739999999996 × 0.340084814898487 × 6371000     		do = 415.43929140541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65554877-1.65574051) × cos(-1.22385445) × R
    0.000191739999999996 × 0.340023491032665 × 6371000     		du = 415.364379670904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22378924)-sin(-1.22385445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340084814898487-0.340023491032665)×R²
    abs(1.65574051-1.65554877)×6.13238658217496e-05×R²
    0.000191739999999996×6.13238658217496e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.13238658217496e-05×40589641000000     		ar = 172579.901454699m²