Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25017 / 29123
↖ ↑ ↗
← N 19.627066°
W 42.577515°		 ← 575.36 m → N 19.627066°
W 42.572021°		 →
↑
575.37 m
↓
↑
575.37 m
↓
N 19.621892°
W 42.577515°		 ← 575.38 m →
331 048 m²		 N 19.621892°
W 42.572021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381736755371094 y=0.444389343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381736755371094 × 216)
    floor (0.381736755371094 × 65536)
    floor (25017.5)     		tx = 25017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444389343261719 × 216)
    floor (0.444389343261719 × 65536)
    floor (29123.5)     		ty = 29123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25017 / 29123 ti = "16/25017/29123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25017/29123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25017 ÷ 216
    25017 ÷ 65536     		x = 0.381729125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29123 ÷ 216
    29123 ÷ 65536     		y = 0.444381713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381729125976562 × 2 - 1) × π
    -0.236541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74311782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444381713867188 × 2 - 1) × π
    0.111236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.349459998230209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74311782} λ = -0.74311782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349459998230209))-π/2
    2×atan(1.41830145646973)-π/2
    2×0.956676627840821-π/2
    1.91335325568164-1.57079632675     		φ = 0.34255693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74311782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.577515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34255693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.627066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25017 KachelY 29123 -0.74311782 0.34255693 -42.577515 19.627066
    Oben rechts KachelX + 1 25018 KachelY 29123 -0.74302194 0.34255693 -42.572021 19.627066
    Unten links KachelX 25017 KachelY + 1 29124 -0.74311782 0.34246662 -42.577515 19.621892
    Unten rechts KachelX + 1 25018 KachelY + 1 29124 -0.74302194 0.34246662 -42.572021 19.621892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34255693-0.34246662) × R
    9.03099999999823e-05 × 6371000     		dl = 575.365009999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34255693-0.34246662) × R
    9.03099999999823e-05 × 6371000     		dr = 575.365009999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74311782--0.74302194) × cos(0.34255693) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941898881495031 × 6371000     		do = 575.360325771873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74311782--0.74302194) × cos(0.34246662) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.941929212472042 × 6371000     		du = 575.37885349407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34255693)-sin(0.34246662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941898881495031-0.941929212472042)×R²
    abs(-0.74302194--0.74311782)×3.0330977011328e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.0330977011328e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.0330977011328e-05×40589641000000     		ar = 331047.529917788m²