Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25017 / 25471
↖ ↑ ↗
← S 70.136632°
E 94.844971°		 ← 415.09 m → S 70.136632°
E 94.855957°		 →
↑
415.07 m
↓
↑
415.07 m
↓
S 70.140365°
E 94.844971°		 ← 415.01 m →
172 275 m²		 S 70.140365°
E 94.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763473510742188 y=0.777328491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763473510742188 × 215)
    floor (0.763473510742188 × 32768)
    floor (25017.5)     		tx = 25017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777328491210938 × 215)
    floor (0.777328491210938 × 32768)
    floor (25471.5)     		ty = 25471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25017 / 25471 ti = "15/25017/25471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25017/25471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25017 ÷ 215
    25017 ÷ 32768     		x = 0.763458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25471 ÷ 215
    25471 ÷ 32768     		y = 0.777313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763458251953125 × 2 - 1) × π
    0.52691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65535702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.55462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7424104273898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65535702} λ = 1.65535702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7424104273898))-π/2
    2×atan(0.175097830927258)-π/2
    2×0.173340588758592-π/2
    0.346681177517183-1.57079632675     		φ = -1.22411515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65535702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.844971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22411515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.136632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25017 KachelY 25471 1.65535702 -1.22411515 94.844971 -70.136632
    Oben rechts KachelX + 1 25018 KachelY 25471 1.65554877 -1.22411515 94.855957 -70.136632
    Unten links KachelX 25017 KachelY + 1 25472 1.65535702 -1.22418030 94.844971 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 25018 KachelY + 1 25472 1.65554877 -1.22418030 94.855957 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22411515--1.22418030) × R
    6.51499999999583e-05 × 6371000     		dl = 415.070649999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22411515--1.22418030) × R
    6.51499999999583e-05 × 6371000     		dr = 415.070649999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65535702-1.65554877) × cos(-1.22411515) × R
    0.000191749999999935 × 0.339778312783798 × 6371000     		do = 415.086523195324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65535702-1.65554877) × cos(-1.22418030) × R
    0.000191749999999935 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 415.011667668161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22411515)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339778312783798-0.339717038125863)×R²
    abs(1.65554877-1.65535702)×6.12746579347068e-05×R²
    0.000191749999999935×6.12746579347068e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.12746579347068e-05×40589641000000     		ar = 172274.697883631m²