Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25017 / 25430
↖ ↑ ↗
← S 69.983015°
E 94.844971°		 ← 418.17 m → S 69.983015°
E 94.855957°		 →
↑
418.13 m
↓
↑
418.13 m
↓
S 69.986775°
E 94.844971°		 ← 418.09 m →
174 831 m²		 S 69.986775°
E 94.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763473510742188 y=0.776077270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763473510742188 × 215)
    floor (0.763473510742188 × 32768)
    floor (25017.5)     		tx = 25017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776077270507812 × 215)
    floor (0.776077270507812 × 32768)
    floor (25430.5)     		ty = 25430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25017 / 25430 ti = "15/25017/25430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25017/25430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25017 ÷ 215
    25017 ÷ 32768     		x = 0.763458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25430 ÷ 215
    25430 ÷ 32768     		y = 0.77606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763458251953125 × 2 - 1) × π
    0.52691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65535702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.5521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73454877585211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65535702} λ = 1.65535702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73454877585211))-π/2
    2×atan(0.176479814276928)-π/2
    2×0.174681146396905-π/2
    0.349362292793809-1.57079632675     		φ = -1.22143403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65535702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.844971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22143403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.983015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25017 KachelY 25430 1.65535702 -1.22143403 94.844971 -69.983015
    Oben rechts KachelX + 1 25018 KachelY 25430 1.65554877 -1.22143403 94.855957 -69.983015
    Unten links KachelX 25017 KachelY + 1 25431 1.65535702 -1.22149966 94.844971 -69.986775
    Unten rechts KachelX + 1 25018 KachelY + 1 25431 1.65554877 -1.22149966 94.855957 -69.986775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22143403--1.22149966) × R
    6.56300000001497e-05 × 6371000     		dl = 418.128730000954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22143403--1.22149966) × R
    6.56300000001497e-05 × 6371000     		dr = 418.128730000954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65535702-1.65554877) × cos(-1.22143403) × R
    0.000191749999999935 × 0.342298696783953 × 6371000     		do = 418.165523214984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65535702-1.65554877) × cos(-1.22149966) × R
    0.000191749999999935 × 0.342237030677081 × 6371000     		du = 418.090189478435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22143403)-sin(-1.22149966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342298696783953-0.342237030677081)×R²
    abs(1.65554877-1.65535702)×6.16661068716939e-05×R²
    0.000191749999999935×6.16661068716939e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.16661068716939e-05×40589641000000     		ar = 174831.269614798m²