Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25014 / 42099
↖ ↑ ↗
← S 45.533289°
W 42.593994°		 ← 427.85 m → S 45.533289°
W 42.588501°		 →
↑
427.88 m
↓
↑
427.88 m
↓
S 45.537137°
W 42.593994°		 ← 427.82 m →
183 062 m²		 S 45.537137°
W 42.588501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381690979003906 y=0.642387390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381690979003906 × 216)
    floor (0.381690979003906 × 65536)
    floor (25014.5)     		tx = 25014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642387390136719 × 216)
    floor (0.642387390136719 × 65536)
    floor (42099.5)     		ty = 42099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25014 / 42099 ti = "16/25014/42099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25014/42099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25014 ÷ 216
    25014 ÷ 65536     		x = 0.381683349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42099 ÷ 216
    42099 ÷ 65536     		y = 0.642379760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.23663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74340544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642379760742188 × 2 - 1) × π
    -0.284759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.894598420709488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74340544} λ = -0.74340544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894598420709488))-π/2
    2×atan(0.408771719942061)-π/2
    2×0.388045258302191-π/2
    0.776090516604381-1.57079632675     		φ = -0.79470581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74340544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.593994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79470581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.533289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25014 KachelY 42099 -0.74340544 -0.79470581 -42.593994 -45.533289
    Oben rechts KachelX + 1 25015 KachelY 42099 -0.74330957 -0.79470581 -42.588501 -45.533289
    Unten links KachelX 25014 KachelY + 1 42100 -0.74340544 -0.79477297 -42.593994 -45.537137
    Unten rechts KachelX + 1 25015 KachelY + 1 42100 -0.74330957 -0.79477297 -42.588501 -45.537137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79470581--0.79477297) × R
    6.71600000000661e-05 × 6371000     		dl = 427.876360000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79470581--0.79477297) × R
    6.71600000000661e-05 × 6371000     		dr = 427.876360000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74340544--0.74330957) × cos(-0.79470581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700494747267909 × 6371000     		do = 427.85362458047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74340544--0.74330957) × cos(-0.79477297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70044681644662 × 6371000     		du = 427.824349021021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79470581)-sin(-0.79477297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700494747267909-0.70044681644662)×R²
    abs(-0.74330957--0.74340544)×4.79308212890661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79308212890661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79308212890661e-05×40589641000000     		ar = 183062.188407241m²