Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25014 / 25465
↖ ↑ ↗
← S 70.114222°
E 94.812011°		 ← 415.54 m → S 70.114222°
E 94.822998°		 →
↑
415.45 m
↓
↑
415.45 m
↓
S 70.117958°
E 94.812011°		 ← 415.46 m →
172 620 m²		 S 70.117958°
E 94.822998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763381958007812 y=0.777145385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763381958007812 × 215)
    floor (0.763381958007812 × 32768)
    floor (25014.5)     		tx = 25014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777145385742188 × 215)
    floor (0.777145385742188 × 32768)
    floor (25465.5)     		ty = 25465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25014 / 25465 ti = "15/25014/25465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25014/25465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25014 ÷ 215
    25014 ÷ 32768     		x = 0.76336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25465 ÷ 215
    25465 ÷ 32768     		y = 0.777130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    0.5267333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65478177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.55426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74125994179892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65478177} λ = 1.65478177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74125994179892))-π/2
    2×atan(0.175299394384428)-π/2
    2×0.173536149563516-π/2
    0.347072299127031-1.57079632675     		φ = -1.22372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65478177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.812011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.114222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25014 KachelY 25465 1.65478177 -1.22372403 94.812011 -70.114222
    Oben rechts KachelX + 1 25015 KachelY 25465 1.65497352 -1.22372403 94.822998 -70.114222
    Unten links KachelX 25014 KachelY + 1 25466 1.65478177 -1.22378924 94.812011 -70.117958
    Unten rechts KachelX + 1 25015 KachelY + 1 25466 1.65497352 -1.22378924 94.822998 -70.117958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22372403--1.22378924) × R
    6.52099999998157e-05 × 6371000     		dl = 415.452909998826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22372403--1.22378924) × R
    6.52099999998157e-05 × 6371000     		dr = 415.452909998826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65478177-1.65497352) × cos(-1.22372403) × R
    0.000191749999999935 × 0.340146137318151 × 6371000     		do = 415.535872083602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65478177-1.65497352) × cos(-1.22378924) × R
    0.000191749999999935 × 0.340084814898487 × 6371000     		du = 415.460958208836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22372403)-sin(-1.22378924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340146137318151-0.340084814898487)×R²
    abs(1.65497352-1.65478177)×6.1322419663945e-05×R²
    0.000191749999999935×6.1322419663945e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.1322419663945e-05×40589641000000     		ar = 172620.025733732m²