Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25013 / 24216
↖ ↑ ↗
← S 64.886265°
E 94.801026°		 ← 518.46 m → S 64.886265°
E 94.812011°		 →
↑
518.41 m
↓
↑
518.41 m
↓
S 64.890928°
E 94.801026°		 ← 518.37 m →
268 749 m²		 S 64.890928°
E 94.812011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763351440429688 y=0.739028930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763351440429688 × 215)
    floor (0.763351440429688 × 32768)
    floor (25013.5)     		tx = 25013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739028930664062 × 215)
    floor (0.739028930664062 × 32768)
    floor (24216.5)     		ty = 24216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25013 / 24216 ti = "15/25013/24216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25013/24216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25013 ÷ 215
    25013 ÷ 32768     		x = 0.763336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24216 ÷ 215
    24216 ÷ 32768     		y = 0.739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763336181640625 × 2 - 1) × π
    0.52667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65459003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65459003} λ = 1.65459003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50176719129712))-π/2
    2×atan(0.222736194679993)-π/2
    2×0.219158678050316-π/2
    0.438317356100632-1.57079632675     		φ = -1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65459003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.801026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25013 KachelY 24216 1.65459003 -1.13247897 94.801026 -64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 25014 KachelY 24216 1.65478177 -1.13247897 94.812011 -64.886265
    Unten links KachelX 25013 KachelY + 1 24217 1.65459003 -1.13256034 94.801026 -64.890928
    Unten rechts KachelX + 1 25014 KachelY + 1 24217 1.65478177 -1.13256034 94.812011 -64.890928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13247897--1.13256034) × R
    8.13699999999695e-05 × 6371000     		dl = 518.408269999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13247897--1.13256034) × R
    8.13699999999695e-05 × 6371000     		dr = 518.408269999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65459003-1.65478177) × cos(-1.13247897) × R
    0.000191739999999996 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 518.456801206636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65459003-1.65478177) × cos(-1.13256034) × R
    0.000191739999999996 × 0.424342809305646 × 6371000     		du = 518.36679642265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13247897)-sin(-1.13256034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.424342809305646)×R²
    abs(1.65478177-1.65459003)×7.36792617717086e-05×R²
    0.000191739999999996×7.36792617717086e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.36792617717086e-05×40589641000000     		ar = 268748.963919513m²