Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25012 / 25428
↖ ↑ ↗
← S 69.975493°
E 94.790039°		 ← 418.32 m → S 69.975493°
E 94.801026°		 →
↑
418.26 m
↓
↑
418.26 m
↓
S 69.979254°
E 94.790039°		 ← 418.24 m →
174 948 m²		 S 69.979254°
E 94.801026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763320922851562 y=0.776016235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763320922851562 × 215)
    floor (0.763320922851562 × 32768)
    floor (25012.5)     		tx = 25012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776016235351562 × 215)
    floor (0.776016235351562 × 32768)
    floor (25428.5)     		ty = 25428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25012 / 25428 ti = "15/25012/25428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25012/25428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25012 ÷ 215
    25012 ÷ 32768     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25428 ÷ 215
    25428 ÷ 32768     		y = 0.7760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73416528065515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73416528065515))-π/2
    2×atan(0.17654750641704)-π/2
    2×0.174746793175566-π/2
    0.349493586351132-1.57079632675     		φ = -1.22130274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22130274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.975493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25012 KachelY 25428 1.65439828 -1.22130274 94.790039 -69.975493
    Oben rechts KachelX + 1 25013 KachelY 25428 1.65459003 -1.22130274 94.801026 -69.975493
    Unten links KachelX 25012 KachelY + 1 25429 1.65439828 -1.22136839 94.790039 -69.979254
    Unten rechts KachelX + 1 25013 KachelY + 1 25429 1.65459003 -1.22136839 94.801026 -69.979254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22130274--1.22136839) × R
    6.56500000000282e-05 × 6371000     		dl = 418.25615000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22130274--1.22136839) × R
    6.56500000000282e-05 × 6371000     		dr = 418.25615000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65459003) × cos(-1.22130274) × R
    0.000191749999999935 × 0.342422052760671 × 6371000     		do = 418.316219717865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65459003) × cos(-1.22136839) × R
    0.000191749999999935 × 0.342360370812129 × 6371000     		du = 418.24086662851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22130274)-sin(-1.22136839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342422052760671-0.342360370812129)×R²
    abs(1.65459003-1.65439828)×6.16819485418918e-05×R²
    0.000191749999999935×6.16819485418918e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.16819485418918e-05×40589641000000     		ar = 174947.573158251m²