Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25012 / 24220
↖ ↑ ↗
← S 64.904910°
E 94.790039°		 ← 518.12 m → S 64.904910°
E 94.801026°		 →
↑
518.09 m
↓
↑
518.09 m
↓
S 64.909569°
E 94.790039°		 ← 518.03 m →
268 411 m²		 S 64.909569°
E 94.801026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763320922851562 y=0.739151000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763320922851562 × 215)
    floor (0.763320922851562 × 32768)
    floor (25012.5)     		tx = 25012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739151000976562 × 215)
    floor (0.739151000976562 × 32768)
    floor (24220.5)     		ty = 24220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25012 / 24220 ti = "15/25012/24220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25012/24220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25012 ÷ 215
    25012 ÷ 32768     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24220 ÷ 215
    24220 ÷ 32768     		y = 0.7391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50253418169104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50253418169104))-π/2
    2×atan(0.222565423656534)-π/2
    2×0.21899597287321-π/2
    0.43799194574642-1.57079632675     		φ = -1.13280438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13280438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.904910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25012 KachelY 24220 1.65439828 -1.13280438 94.790039 -64.904910
    Oben rechts KachelX + 1 25013 KachelY 24220 1.65459003 -1.13280438 94.801026 -64.904910
    Unten links KachelX 25012 KachelY + 1 24221 1.65439828 -1.13288570 94.790039 -64.909569
    Unten rechts KachelX + 1 25013 KachelY + 1 24221 1.65459003 -1.13288570 94.801026 -64.909569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13280438--1.13288570) × R
    8.13200000000514e-05 × 6371000     		dl = 518.089720000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13280438--1.13288570) × R
    8.13200000000514e-05 × 6371000     		dr = 518.089720000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65459003) × cos(-1.13280438) × R
    0.000191749999999935 × 0.424121818057005 × 6371000     		do = 518.123859719621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65459003) × cos(-1.13288570) × R
    0.000191749999999935 × 0.424048172844133 × 6371000     		du = 518.033891837001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13280438)-sin(-1.13288570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424121818057005-0.424048172844133)×R²
    abs(1.65459003-1.65439828)×7.36452128722309e-05×R²
    0.000191749999999935×7.36452128722309e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.36452128722309e-05×40589641000000     		ar = 268411.339837577m²