Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25012 / 24196
↖ ↑ ↗
← S 64.792848°
E 94.790039°		 ← 520.29 m → S 64.792848°
E 94.801026°		 →
↑
520.19 m
↓
↑
520.19 m
↓
S 64.797526°
E 94.790039°		 ← 520.20 m →
270 626 m²		 S 64.797526°
E 94.801026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763320922851562 y=0.738418579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763320922851562 × 215)
    floor (0.763320922851562 × 32768)
    floor (25012.5)     		tx = 25012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738418579101562 × 215)
    floor (0.738418579101562 × 32768)
    floor (24196.5)     		ty = 24196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25012 / 24196 ti = "15/25012/24196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25012/24196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25012 ÷ 215
    25012 ÷ 32768     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24196 ÷ 215
    24196 ÷ 32768     		y = 0.7384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49793223932751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49793223932751))-π/2
    2×atan(0.223592017258854)-π/2
    2×0.219973900692938-π/2
    0.439947801385875-1.57079632675     		φ = -1.13084853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13084853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.792848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25012 KachelY 24196 1.65439828 -1.13084853 94.790039 -64.792848
    Oben rechts KachelX + 1 25013 KachelY 24196 1.65459003 -1.13084853 94.801026 -64.792848
    Unten links KachelX 25012 KachelY + 1 24197 1.65439828 -1.13093018 94.790039 -64.797526
    Unten rechts KachelX + 1 25013 KachelY + 1 24197 1.65459003 -1.13093018 94.801026 -64.797526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13084853--1.13093018) × R
    8.16500000000442e-05 × 6371000     		dl = 520.192150000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13084853--1.13093018) × R
    8.16500000000442e-05 × 6371000     		dr = 520.192150000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65459003) × cos(-1.13084853) × R
    0.000191749999999935 × 0.425892233548999 × 6371000     		do = 520.286668773447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65459003) × cos(-1.13093018) × R
    0.000191749999999935 × 0.425818357340706 × 6371000     		du = 520.196418697756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13084853)-sin(-1.13093018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425892233548999-0.425818357340706)×R²
    abs(1.65459003-1.65439828)×7.38762082927447e-05×R²
    0.000191749999999935×7.38762082927447e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.38762082927447e-05×40589641000000     		ar = 270625.567305259m²