Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25011 / 24393
↖ ↑ ↗
← S 65.698997°
E 94.779053°		 ← 502.74 m → S 65.698997°
E 94.790039°		 →
↑
502.67 m
↓
↑
502.67 m
↓
S 65.703518°
E 94.779053°		 ← 502.65 m →
252 692 m²		 S 65.703518°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763290405273438 y=0.744430541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763290405273438 × 215)
    floor (0.763290405273438 × 32768)
    floor (25011.5)     		tx = 25011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744430541992188 × 215)
    floor (0.744430541992188 × 32768)
    floor (24393.5)     		ty = 24393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25011 / 24393 ti = "15/25011/24393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25011/24393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25011 ÷ 215
    25011 ÷ 32768     		x = 0.763275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24393 ÷ 215
    24393 ÷ 32768     		y = 0.744415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763275146484375 × 2 - 1) × π
    0.52655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65420653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.48883056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53570651622812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65420653} λ = 1.65420653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53570651622812))-π/2
    2×atan(0.215303521988818)-π/2
    2×0.212066253498564-π/2
    0.424132506997128-1.57079632675     		φ = -1.14666382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65420653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.779053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14666382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.698997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25011 KachelY 24393 1.65420653 -1.14666382 94.779053 -65.698997
    Oben rechts KachelX + 1 25012 KachelY 24393 1.65439828 -1.14666382 94.790039 -65.698997
    Unten links KachelX 25011 KachelY + 1 24394 1.65420653 -1.14674272 94.779053 -65.703518
    Unten rechts KachelX + 1 25012 KachelY + 1 24394 1.65439828 -1.14674272 94.790039 -65.703518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14666382--1.14674272) × R
    7.89000000001039e-05 × 6371000     		dl = 502.671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14666382--1.14674272) × R
    7.89000000001039e-05 × 6371000     		dr = 502.671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65420653-1.65439828) × cos(-1.14666382) × R
    0.000191750000000157 × 0.411530306787276 × 6371000     		do = 502.741575336289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65420653-1.65439828) × cos(-1.14674272) × R
    0.000191750000000157 × 0.411458396356055 × 6371000     		du = 502.653726731026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14666382)-sin(-1.14674272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411530306787276-0.411458396356055)×R²
    abs(1.65439828-1.65420653)×7.19104312206231e-05×R²
    0.000191750000000157×7.19104312206231e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.19104312206231e-05×40589641000000     		ar = 252691.983501944m²