Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2501 / 2615
↖ ↑ ↗
← S 44.527843°
E 39.814453°		 ← 6 967.26 m → S 44.527843°
E 39.902344°		 →
↑
6 963.50 m
↓
↑
6 963.50 m
↓
S 44.590467°
E 39.814453°		 ← 6 959.76 m →
48 490 428 m²		 S 44.590467°
E 39.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6107177734375 y=0.6385498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6107177734375 × 212)
    floor (0.6107177734375 × 4096)
    floor (2501.5)     		tx = 2501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6385498046875 × 212)
    floor (0.6385498046875 × 4096)
    floor (2615.5)     		ty = 2615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2501 / 2615 ti = "12/2501/2615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2501/2615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2501 ÷ 212
    2501 ÷ 4096     		x = 0.610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2615 ÷ 212
    2615 ÷ 4096     		y = 0.638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610595703125 × 2 - 1) × π
    0.22119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69489330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.27685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.869767106706299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69489330} λ = 0.69489330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869767106706299))-π/2
    2×atan(0.419049131616543)-π/2
    2×0.396819430584563-π/2
    0.793638861169125-1.57079632675     		φ = -0.77715747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69489330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77715747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.527843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2501 KachelY 2615 0.69489330 -0.77715747 39.814453 -44.527843
    Oben rechts KachelX + 1 2502 KachelY 2615 0.69642728 -0.77715747 39.902344 -44.527843
    Unten links KachelX 2501 KachelY + 1 2616 0.69489330 -0.77825047 39.814453 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 2502 KachelY + 1 2616 0.69642728 -0.77825047 39.902344 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77715747--0.77825047) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dl = 6963.50300000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77715747--0.77825047) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dr = 6963.50300000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69489330-0.69642728) × cos(-0.77715747) × R
    0.00153397999999993 × 0.712909756087121 × 6371000     		do = 6967.25747899021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69489330-0.69642728) × cos(-0.77825047) × R
    0.00153397999999993 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 6959.76259257056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77715747)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712909756087121-0.712142857825438)×R²
    abs(0.69642728-0.69489330)×0.00076689826168308×R²
    0.00153397999999993×0.00076689826168308×6371000²
    0.00153397999999993×0.00076689826168308×40589641000000     		ar = 48490427.8521081m²