Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25009 / 28955
↖ ↑ ↗
← N 20.493919°
W 42.621460°		 ← 572.19 m → N 20.493919°
W 42.615967°		 →
↑
572.18 m
↓
↑
572.18 m
↓
N 20.488773°
W 42.621460°		 ← 572.21 m →
327 401 m²		 N 20.488773°
W 42.615967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381614685058594 y=0.441825866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381614685058594 × 216)
    floor (0.381614685058594 × 65536)
    floor (25009.5)     		tx = 25009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441825866699219 × 216)
    floor (0.441825866699219 × 65536)
    floor (28955.5)     		ty = 28955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25009 / 28955 ti = "16/25009/28955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25009/28955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25009 ÷ 216
    25009 ÷ 65536     		x = 0.381607055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28955 ÷ 216
    28955 ÷ 65536     		y = 0.441818237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381607055664062 × 2 - 1) × π
    -0.236785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74388481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441818237304688 × 2 - 1) × π
    0.116363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.365566796502548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74388481} λ = -0.74388481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365566796502548))-π/2
    2×atan(1.44133071788315)-π/2
    2×0.964241343865729-π/2
    1.92848268773146-1.57079632675     		φ = 0.35768636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74388481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.621460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35768636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.493919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25009 KachelY 28955 -0.74388481 0.35768636 -42.621460 20.493919
    Oben rechts KachelX + 1 25010 KachelY 28955 -0.74378893 0.35768636 -42.615967 20.493919
    Unten links KachelX 25009 KachelY + 1 28956 -0.74388481 0.35759655 -42.621460 20.488773
    Unten rechts KachelX + 1 25010 KachelY + 1 28956 -0.74378893 0.35759655 -42.615967 20.488773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35768636-0.35759655) × R
    8.9809999999968e-05 × 6371000     		dl = 572.179509999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35768636-0.35759655) × R
    8.9809999999968e-05 × 6371000     		dr = 572.179509999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74388481--0.74378893) × cos(0.35768636) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936709353813873 × 6371000     		do = 572.190295106673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74388481--0.74378893) × cos(0.35759655) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.936740793232409 × 6371000     		du = 572.209499922016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35768636)-sin(0.35759655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936709353813873-0.936740793232409)×R²
    abs(-0.74378893--0.74388481)×3.14394185352285e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.14394185352285e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.14394185352285e-05×40589641000000     		ar = 327401.057201666m²