Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25008 / 28950
↖ ↑ ↗
← N 20.519644°
W 42.626953°		 ← 572.03 m → N 20.519644°
W 42.621460°		 →
↑
572.05 m
↓
↑
572.05 m
↓
N 20.514499°
W 42.626953°		 ← 572.05 m →
327 239 m²		 N 20.514499°
W 42.621460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381599426269531 y=0.441749572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381599426269531 × 216)
    floor (0.381599426269531 × 65536)
    floor (25008.5)     		tx = 25008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441749572753906 × 216)
    floor (0.441749572753906 × 65536)
    floor (28950.5)     		ty = 28950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25008 / 28950 ti = "16/25008/28950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25008/28950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25008 ÷ 216
    25008 ÷ 65536     		x = 0.381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28950 ÷ 216
    28950 ÷ 65536     		y = 0.441741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.23681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74398068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441741943359375 × 2 - 1) × π
    0.11651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.366046165498749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74398068} λ = -0.74398068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366046165498749))-π/2
    2×atan(1.44202181277408)-π/2
    2×0.964465839730243-π/2
    1.92893167946049-1.57079632675     		φ = 0.35813535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74398068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.626953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35813535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.519644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25008 KachelY 28950 -0.74398068 0.35813535 -42.626953 20.519644
    Oben rechts KachelX + 1 25009 KachelY 28950 -0.74388481 0.35813535 -42.621460 20.519644
    Unten links KachelX 25008 KachelY + 1 28951 -0.74398068 0.35804556 -42.626953 20.514499
    Unten rechts KachelX + 1 25009 KachelY + 1 28951 -0.74388481 0.35804556 -42.621460 20.514499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35813535-0.35804556) × R
    8.9790000000034e-05 × 6371000     		dl = 572.052090000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35813535-0.35804556) × R
    8.9790000000034e-05 × 6371000     		dr = 572.052090000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74398068--0.74388481) × cos(0.35813535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936552064427821 × 6371000     		do = 572.034546920753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74398068--0.74388481) × cos(0.35804556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936583534606605 × 6371000     		du = 572.053768521074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35813535)-sin(0.35804556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936552064427821-0.936583534606605)×R²
    abs(-0.74388481--0.74398068)×3.1470178784021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1470178784021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1470178784021e-05×40589641000000     		ar = 327239.056216523m²