Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25005 / 25434
↖ ↑ ↗
← S 69.998052°
E 94.713135°		 ← 417.84 m → S 69.998052°
E 94.724121°		 →
↑
417.81 m
↓
↑
417.81 m
↓
S 70.001810°
E 94.713135°		 ← 417.77 m →
174 563 m²		 S 70.001810°
E 94.724121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763107299804688 y=0.776199340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763107299804688 × 215)
    floor (0.763107299804688 × 32768)
    floor (25005.5)     		tx = 25005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776199340820312 × 215)
    floor (0.776199340820312 × 32768)
    floor (25434.5)     		ty = 25434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25005 / 25434 ti = "15/25005/25434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25005/25434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25005 ÷ 215
    25005 ÷ 32768     		x = 0.763092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25434 ÷ 215
    25434 ÷ 32768     		y = 0.77618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763092041015625 × 2 - 1) × π
    0.52618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65305605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.5523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73531576624603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65305605} λ = 1.65305605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73531576624603))-π/2
    2×atan(0.176344507850655)-π/2
    2×0.174549923782665-π/2
    0.349099847565331-1.57079632675     		φ = -1.22169648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65305605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22169648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.998052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25005 KachelY 25434 1.65305605 -1.22169648 94.713135 -69.998052
    Oben rechts KachelX + 1 25006 KachelY 25434 1.65324779 -1.22169648 94.724121 -69.998052
    Unten links KachelX 25005 KachelY + 1 25435 1.65305605 -1.22176206 94.713135 -70.001810
    Unten rechts KachelX + 1 25006 KachelY + 1 25435 1.65324779 -1.22176206 94.724121 -70.001810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22169648--1.22176206) × R
    6.55800000000095e-05 × 6371000     		dl = 417.810180000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22169648--1.22176206) × R
    6.55800000000095e-05 × 6371000     		dr = 417.810180000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65305605-1.65324779) × cos(-1.22169648) × R
    0.000191739999999996 × 0.3420520892905 × 6371000     		do = 417.842465683162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65305605-1.65324779) × cos(-1.22176206) × R
    0.000191739999999996 × 0.341990464275499 × 6371000     		du = 417.767186072185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22169648)-sin(-1.22176206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3420520892905-0.341990464275499)×R²
    abs(1.65324779-1.65305605)×6.16250150009545e-05×R²
    0.000191739999999996×6.16250150009545e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.16250150009545e-05×40589641000000     		ar = 174563.109567661m²