Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25001 / 29016
↖ ↑ ↗
← N 20.179724°
W 42.665405°		 ← 573.35 m → N 20.179724°
W 42.659912°		 →
↑
573.33 m
↓
↑
573.33 m
↓
N 20.174568°
W 42.665405°		 ← 573.37 m →
328 725 m²		 N 20.174568°
W 42.659912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381492614746094 y=0.442756652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381492614746094 × 216)
    floor (0.381492614746094 × 65536)
    floor (25001.5)     		tx = 25001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442756652832031 × 216)
    floor (0.442756652832031 × 65536)
    floor (29016.5)     		ty = 29016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25001 / 29016 ti = "16/25001/29016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25001/29016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25001 ÷ 216
    25001 ÷ 65536     		x = 0.381484985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29016 ÷ 216
    29016 ÷ 65536     		y = 0.4427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381484985351562 × 2 - 1) × π
    -0.237030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74465180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    0.114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359718494748901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74465180} λ = -0.74465180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359718494748901))-π/2
    2×atan(1.4329259815905)-π/2
    2×0.961499472025291-π/2
    1.92299894405058-1.57079632675     		φ = 0.35220262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74465180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.665405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35220262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25001 KachelY 29016 -0.74465180 0.35220262 -42.665405 20.179724
    Oben rechts KachelX + 1 25002 KachelY 29016 -0.74455592 0.35220262 -42.659912 20.179724
    Unten links KachelX 25001 KachelY + 1 29017 -0.74465180 0.35211263 -42.665405 20.174568
    Unten rechts KachelX + 1 25002 KachelY + 1 29017 -0.74455592 0.35211263 -42.659912 20.174568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35220262-0.35211263) × R
    8.99900000000398e-05 × 6371000     		dl = 573.326290000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35220262-0.35211263) × R
    8.99900000000398e-05 × 6371000     		dr = 573.326290000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74465180--0.74455592) × cos(0.35220262) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.938615161190615 × 6371000     		do = 573.35446036335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74465180--0.74455592) × cos(0.35211263) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.938646200885326 × 6371000     		du = 573.373421006803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35220262)-sin(0.35211263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938615161190615-0.938646200885326)×R²
    abs(-0.74455592--0.74465180)×3.103969471141e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.103969471141e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.103969471141e-05×40589641000000     		ar = 328724.621154711m²