Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25000 / 29225
↖ ↑ ↗
← N 19.098458°
W 42.670898°		 ← 577.17 m → N 19.098458°
W 42.665405°		 →
↑
577.21 m
↓
↑
577.21 m
↓
N 19.093267°
W 42.670898°		 ← 577.19 m →
333 154 m²		 N 19.093267°
W 42.665405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381477355957031 y=0.445945739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381477355957031 × 216)
    floor (0.381477355957031 × 65536)
    floor (25000.5)     		tx = 25000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445945739746094 × 216)
    floor (0.445945739746094 × 65536)
    floor (29225.5)     		ty = 29225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25000 / 29225 ti = "16/25000/29225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25000/29225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25000 ÷ 216
    25000 ÷ 65536     		x = 0.3814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29225 ÷ 216
    29225 ÷ 65536     		y = 0.445938110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74474767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445938110351562 × 2 - 1) × π
    0.108123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339680870707718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74474767} λ = -0.74474767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339680870707718))-π/2
    2×atan(1.40449930216811)-π/2
    2×0.952063646327181-π/2
    1.90412729265436-1.57079632675     		φ = 0.33333097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74474767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33333097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.098458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25000 KachelY 29225 -0.74474767 0.33333097 -42.670898 19.098458
    Oben rechts KachelX + 1 25001 KachelY 29225 -0.74465180 0.33333097 -42.665405 19.098458
    Unten links KachelX 25000 KachelY + 1 29226 -0.74474767 0.33324037 -42.670898 19.093267
    Unten rechts KachelX + 1 25001 KachelY + 1 29226 -0.74465180 0.33324037 -42.665405 19.093267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33333097-0.33324037) × R
    9.05999999999962e-05 × 6371000     		dl = 577.212599999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33333097-0.33324037) × R
    9.05999999999962e-05 × 6371000     		dr = 577.212599999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74474767--0.74465180) × cos(0.33333097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944957719582232 × 6371000     		do = 577.168618287904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74474767--0.74465180) × cos(0.33324037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944987359341112 × 6371000     		du = 577.186721890134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33333097)-sin(0.33324037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944957719582232-0.944987359341112)×R²
    abs(-0.74465180--0.74474767)×2.96397588801511e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96397588801511e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96397588801511e-05×40589641000000     		ar = 333154.223841917m²