Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25000 / 29032
↖ ↑ ↗
← N 20.097206°
W 42.670898°		 ← 573.60 m → N 20.097206°
W 42.665405°		 →
↑
573.64 m
↓
↑
573.64 m
↓
N 20.092047°
W 42.670898°		 ← 573.62 m →
329 047 m²		 N 20.092047°
W 42.665405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381477355957031 y=0.443000793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381477355957031 × 216)
    floor (0.381477355957031 × 65536)
    floor (25000.5)     		tx = 25000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443000793457031 × 216)
    floor (0.443000793457031 × 65536)
    floor (29032.5)     		ty = 29032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25000 / 29032 ti = "16/25000/29032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25000/29032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25000 ÷ 216
    25000 ÷ 65536     		x = 0.3814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29032 ÷ 216
    29032 ÷ 65536     		y = 0.4429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74474767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    0.114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35818451396106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74474767} λ = -0.74474767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35818451396106))-π/2
    2×atan(1.43072958570958)-π/2
    2×0.960779372950102-π/2
    1.9215587459002-1.57079632675     		φ = 0.35076242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74474767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35076242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.097206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25000 KachelY 29032 -0.74474767 0.35076242 -42.670898 20.097206
    Oben rechts KachelX + 1 25001 KachelY 29032 -0.74465180 0.35076242 -42.665405 20.097206
    Unten links KachelX 25000 KachelY + 1 29033 -0.74474767 0.35067238 -42.670898 20.092047
    Unten rechts KachelX + 1 25001 KachelY + 1 29033 -0.74465180 0.35067238 -42.665405 20.092047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35076242-0.35067238) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dl = 573.644840000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35076242-0.35067238) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dr = 573.644840000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74474767--0.74465180) × cos(0.35076242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939111007705075 × 6371000     		do = 573.597518178623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74474767--0.74465180) × cos(0.35067238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939141942894193 × 6371000     		du = 573.616413013799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35076242)-sin(0.35067238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939111007705075-0.939141942894193)×R²
    abs(-0.74465180--0.74474767)×3.09351891174536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09351891174536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09351891174536e-05×40589641000000     		ar = 329046.676224638m²