Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25000 / 24879
↖ ↑ ↗
← S 67.805095°
E 94.658203°		 ← 461.48 m → S 67.805095°
E 94.669190°		 →
↑
461.45 m
↓
↑
461.45 m
↓
S 67.809245°
E 94.658203°		 ← 461.40 m →
212 934 m²		 S 67.809245°
E 94.669190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762954711914062 y=0.759262084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762954711914062 × 215)
    floor (0.762954711914062 × 32768)
    floor (25000.5)     		tx = 25000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759262084960938 × 215)
    floor (0.759262084960938 × 32768)
    floor (24879.5)     		ty = 24879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25000 / 24879 ti = "15/25000/24879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25000/24879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25000 ÷ 215
    25000 ÷ 32768     		x = 0.762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24879 ÷ 215
    24879 ÷ 32768     		y = 0.759246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65209731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.51849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62889584908951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65209731} λ = 1.65209731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62889584908951))-π/2
    2×atan(0.196146029422239)-π/2
    2×0.193687087370148-π/2
    0.387374174740296-1.57079632675     		φ = -1.18342215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65209731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18342215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.805095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25000 KachelY 24879 1.65209731 -1.18342215 94.658203 -67.805095
    Oben rechts KachelX + 1 25001 KachelY 24879 1.65228906 -1.18342215 94.669190 -67.805095
    Unten links KachelX 25000 KachelY + 1 24880 1.65209731 -1.18349458 94.658203 -67.809245
    Unten rechts KachelX + 1 25001 KachelY + 1 24880 1.65228906 -1.18349458 94.669190 -67.809245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18342215--1.18349458) × R
    7.24300000001232e-05 × 6371000     		dl = 461.451530000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18342215--1.18349458) × R
    7.24300000001232e-05 × 6371000     		dr = 461.451530000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65209731-1.65228906) × cos(-1.18342215) × R
    0.000191749999999935 × 0.377758459553248 × 6371000     		do = 461.484561209628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65209731-1.65228906) × cos(-1.18349458) × R
    0.000191749999999935 × 0.377691395322837 × 6371000     		du = 461.402632913488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18342215)-sin(-1.18349458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377758459553248-0.377691395322837)×R²
    abs(1.65228906-1.65209731)×6.70642304107516e-05×R²
    0.000191749999999935×6.70642304107516e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.70642304107516e-05×40589641000000     		ar = 212933.853966479m²