Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24999 / 29223
↖ ↑ ↗
← N 19.108839°
W 42.676392°		 ← 577.19 m → N 19.108839°
W 42.670898°		 →
↑
577.15 m
↓
↑
577.15 m
↓
N 19.103648°
W 42.676392°		 ← 577.21 m →
333 131 m²		 N 19.103648°
W 42.670898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381462097167969 y=0.445915222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381462097167969 × 216)
    floor (0.381462097167969 × 65536)
    floor (24999.5)     		tx = 24999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445915222167969 × 216)
    floor (0.445915222167969 × 65536)
    floor (29223.5)     		ty = 29223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24999 / 29223 ti = "16/24999/29223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24999/29223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24999 ÷ 216
    24999 ÷ 65536     		x = 0.381454467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29223 ÷ 216
    29223 ÷ 65536     		y = 0.445907592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381454467773438 × 2 - 1) × π
    -0.237091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74484355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445907592773438 × 2 - 1) × π
    0.108184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.339872618306198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74484355} λ = -0.74484355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339872618306198))-π/2
    2×atan(1.40476863735773)-π/2
    2×0.952154240171628-π/2
    1.90430848034326-1.57079632675     		φ = 0.33351215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74484355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.676392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33351215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.108839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24999 KachelY 29223 -0.74484355 0.33351215 -42.676392 19.108839
    Oben rechts KachelX + 1 25000 KachelY 29223 -0.74474767 0.33351215 -42.670898 19.108839
    Unten links KachelX 24999 KachelY + 1 29224 -0.74484355 0.33342156 -42.676392 19.103648
    Unten rechts KachelX + 1 25000 KachelY + 1 29224 -0.74474767 0.33342156 -42.670898 19.103648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33351215-0.33342156) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dl = 577.14889000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33351215-0.33342156) × R
    9.05900000000015e-05 × 6371000     		dr = 577.14889000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74484355--0.74474767) × cos(0.33351215) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944898423342329 × 6371000     		do = 577.192600348618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74484355--0.74474767) × cos(0.33342156) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944928075339579 × 6371000     		du = 577.210713315024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33351215)-sin(0.33342156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944898423342329-0.944928075339579)×R²
    abs(-0.74474767--0.74484355)×2.96519972503573e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.96519972503573e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.96519972503573e-05×40589641000000     		ar = 333131.295774438m²