Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24999 / 25436
↖ ↑ ↗
← S 70.005566°
E 94.647217°		 ← 417.71 m → S 70.005566°
E 94.658203°		 →
↑
417.68 m
↓
↑
417.68 m
↓
S 70.009323°
E 94.647217°		 ← 417.64 m →
174 456 m²		 S 70.009323°
E 94.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762924194335938 y=0.776260375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762924194335938 × 215)
    floor (0.762924194335938 × 32768)
    floor (24999.5)     		tx = 24999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776260375976562 × 215)
    floor (0.776260375976562 × 32768)
    floor (25436.5)     		ty = 25436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24999 / 25436 ti = "15/24999/25436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24999/25436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24999 ÷ 215
    24999 ÷ 32768     		x = 0.762908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25436 ÷ 215
    25436 ÷ 32768     		y = 0.7762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762908935546875 × 2 - 1) × π
    0.52581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65190556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73569926144299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65190556} λ = 1.65190556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73569926144299))-π/2
    2×atan(0.176276893544593)-π/2
    2×0.174484347932308-π/2
    0.348968695864615-1.57079632675     		φ = -1.22182763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65190556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.647217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22182763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.005566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24999 KachelY 25436 1.65190556 -1.22182763 94.647217 -70.005566
    Oben rechts KachelX + 1 25000 KachelY 25436 1.65209731 -1.22182763 94.658203 -70.005566
    Unten links KachelX 24999 KachelY + 1 25437 1.65190556 -1.22189319 94.647217 -70.009323
    Unten rechts KachelX + 1 25000 KachelY + 1 25437 1.65209731 -1.22189319 94.658203 -70.009323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22182763--1.22189319) × R
    6.55600000001311e-05 × 6371000     		dl = 417.682760000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22182763--1.22189319) × R
    6.55600000001311e-05 × 6371000     		dr = 417.682760000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65190556-1.65209731) × cos(-1.22182763) × R
    0.000191749999999935 × 0.341928847186946 × 6371000     		do = 417.713700430684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65190556-1.65209731) × cos(-1.22189319) × R
    0.000191749999999935 × 0.341867238025778 × 6371000     		du = 417.638436261241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22182763)-sin(-1.22189319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341928847186946-0.341867238025778)×R²
    abs(1.65209731-1.65190556)×6.16091611682634e-05×R²
    0.000191749999999935×6.16091611682634e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.16091611682634e-05×40589641000000     		ar = 174456.093075383m²